美式看涨期权与看跌期权的关系

前面我们已经证明对于欧式看涨看跌期权成立平价关系，那么对于美式看涨看跌来说是否有类似的结论呢？这里我们假设股票不付红利。对于美式看涨看跌期权来说成立如下结论。

定理8.1　S-X＜C-P＜S-Xe−rT

证明：

（1）我们先证明右半部分的不等式C−P＜S−Xe−rT

美式看跌期权价值高于相应的欧式看跌期权价值；而美式看涨期权若不付红利，其价值等于相应的欧式看涨期权价值，即P≥p；C=c。根据欧式看涨-看跌期权平价关系有：

C+Xe−rT=c+Xe−rT=p+S＜P+S

因此　C−P＜S−Xe−rT，即得到证明。

（2）接下来我们证明左半部分C−P＞S−X

我们构造两个组合：

组合I：一个欧式看涨期权加上金额为X的现金

组合J：一个美式看跌期权加上一股股票

①若美式看跌期权不提前执行

T时刻：组合J的价值为　VJ=max{ST,X}

对于组合I：

若ST＞X，欧式看涨期权执行，组合I的价值为VI=ST−X+XerT(www.xing528.com)

若ST＜X，欧式看涨期权不执行，VI=XerT

综上，T时刻组合I的价值为：VI=max{ST,X　}+XerT−X

比较VJ、VI可知VJ＜VI

②若美式看跌期权提前执行

t时刻执行：

组合J价值：VJ=X

组合I价值：VI=Xert

显然VJ＜VI

则无论美式期权是否提前执行，均有VJ＜VI，即有C+X＞P+S，因此C−P＞S−X。

综上，S−X＜C−P＜S−Xe−rT，完成证明。

下面我们利用这个关系来看一个例子。

例8.5　考虑不付红利股票的美式看涨期权，执行价格为15美元，到期期限为6个月，期权价格为1美元。假定股票的现价10美元，无风险年利率为10％，执行价格为15美元，到期期限为6个月的欧式看跌期权价格为多少？与美式看涨期权执行价格和到期期限相同的美式看跌期权的价格上下限如何确定？

解：根据已知条件，我们有X=15;T−t=1/2;c=1;S=10;r=10％。则利用欧式看涨看跌期权的平价关系可以计算出欧式看跌期权的价格p=c+Xe−r（T−t）−S=5.26。根据上述定理可以得到：

S−X＜C−P＜S−　Xe−r（T−t）→10−15＜1−P＜10−15e−0.1×0.5，由此　5.268＜P＜6。