样本均值的分布与中心极限定理的考点分析

考情提要

考点精讲

（一）样本均值的分布

当总体分布为正态分布X～N（μ，σ2）时，的抽样分布仍为正态分布，的数学期望为μ，方差为，则。

X的期望值与总体均值相同，而方差缩小为总体方差的，说明当用样本均值去估计总体均值μ时，平均来说没有偏差（无偏性），当n越来越大时，的散布程度越来越小，即用估计μ越来越准确。

然而在实际问题中，总体的分布并不总是正态分布或近似正态分布，但当抽样个数n比较大时，可以得到如下结论。

设总体均值为μ，方差为σ2（有限），则总有

可以得到：

①样本均值的期望值等于总体均值。

②样本均值的方差等于总体方差的。

【例6.9】

设总体X～χ2（n），X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，是样本均值，则（　）。

【答案】A

【解析】总体X～χ2（n），则总体均值和方差分别为μ=n，σ2=2n，所以

知识点补充

当不重复抽样时，样本均值标准差为。对于无限总体，不重复抽样可以视为重复抽样计算样本均值的方差。对于有限总体，当N很大，而≤5%时，修正系数趋向于1，这时也可以按照重复抽样的计算方法计算样本均值的方差。

（二）中心极限定理

设从均值为μ，方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ，方差为的正态分布。

中心极限定理要求n必须充分大，在实际应用中，总体分布未知的情况下，我们要求n≥30为大样本，n＜30为小样本是经验说法。

真题精练(www.xing528.com)

1.某厂家生产的灯泡寿命的均值为60小时，标准差为4小时。如果从中随机抽取30只灯泡进行检测，则样本均值（　）。

A.抽样分布的标准差为4小时

B.抽样分布近似等同于总体分布

C.抽样分布的中位数为60小时

D.抽样分布近似等同于正态分布，均值为60小时

【2016山东大学】

2.在一家饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。如果从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（　）。

A.正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟

B.正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟

C.左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟

D.左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟

【2015山东大学】

3.已知总体的均值为60，标准差为10，从该总体中随机抽取样本量为100的样本，则样本均值的数学期望和方差分别为（　）。

A.60，1

B.6，10

C.60，0.1

D.6，1

【2012武汉大学】