混业经营金融风险度量的相关研究

有关聚合风险（即相依风险因子和S=X1+…+Xn）度量的研究成果有很多，本节将给出后面会用到的一些结论。根据VaR的定义，对聚合风险度量的研究也可以看成是对聚合风险S分布函数的研究。由于对聚合风险S分布函数上界的求解方法与对其下界的求解方法类似，因此，这里主要给出（3.2.1）中定义的m+（s）的研究结果，这些研究结果主要来源于Wang等（2013）。

首先，定义｛Xi，i=1，2，…，n｝的条件均值和如下：

其中，t∈（0，1），F-1（t）=inf｛s∈ℝ｜F（s）≥t｝。令，。显然，若｛Fi，i=1，…，n｝连续，则Φ（t）是一个连续递增的函数。对满足x≤Φ（1）的x，定义

对满足x＞Φ（1）的x定义Φ-1（x）=1。此外，对所有的x∈ℝ，令表示F在［F-1（a），∞）上的条件分布函数，其中，a∈［0，1）。当a=1时，令。为了对本文将用到的已有定理进行介绍，下面给出联合可混函数的定义。

设F1，F2，…，Fn均为单变量分布函数，若存在分布函数分别为F1，F2，…，Fn的随机变量X1，X2…，Xn，使得对于某个常数C∈ℝ，有(www.xing528.com)

成立，则F1，F2，…，Fn即为联合可混的（jointly mixable）。

引理3.2.1　若F1，…，Fn均为连续的分布函数，则

对任意确定的s≥Φ（0）成立，且m+（s）=Φ-1（s）的充分必要条件是条件分布函数是联合可混的。