混业经营下金融风险的分布及度量方法

首先，用概率空间（Ω，F，P）表示未来状态的不确定性，这也是接下来我们所讨论的所有随机变量所在的域。考虑这样一个给定的交易组合，它可以是股票或债券的集合，也可以是一系列衍生工具或者风险债券的组合，甚至可以是金融机构风险资产的总头寸。我们将这个交易组合在时刻s的价值记为V（s），并假设随机变量V（s）在s时刻可被观测。对于一个给定的时间区间Δ，如1天或者10天，在区间［s，s+Δ］内交易组合的损失可表示为

L［s，s+Δ］：=-（V（s+Δ）-V（s）），

尽管L［s，s+Δ］在s+Δ时刻是可以被观测到的，但在s时刻来看它是随机的。L［s，s+Δ］分布被称为损失分布。

损失分布可分为条件损失分布和非条件损失分布。其中，条件损失分布指的是到时刻s为止的所有信息已知的条件下L［s，s+Δ］的分布。以下将会对这两种分布进行详细的介绍。

注2.1.1　风险管理从业者通常会关注所谓的盈亏分布（profit-andloss distribution，P&L），也就是V（s+Δ）-V（s）的分布，或者可表示为随机变量——L［s，s+Δ］的分布。然而在风险管理中我们主要关注的那些比较大的损失的概率，因此在对损失分布的研究中主要关注的事损失分布的上尾部分。进而，我们在标记或者叙述的过程中经常忽略P&L中的P，这是统计学中在表示分布的上尾估计结果时所采用的标准惯例。此外，精算风险理论是关于正随机变量的理论，因此我们对损失分布的关注也有助于这些领域技术的应用。

在本书中我们大多考虑的是一个固定的区间Δ，这样就便于以Δ为单位对时间进行度量并引入一个时间序列符号。在引入的时间序列符号中，将一般过程Y（s）转化成时间序列（Yt）t∈ℕ中，其中，Yt：=Y（tΔ）。利用该符号可以将损失表示为：

例如在市场风险管理中，我们经常要处理时间单位为年且利率和波动率均为年率化的金融模型。如果需要考虑每日的损失，可设Δ=1/365或Δ≈1/250，其中后一种主要用于每年交易天数大约为250天的衍生品市场。随机变量Vt和Vt+1分别表示第t天和第t+1天的交易组合市值，Lt+1表示从第t天到第t+1天的损失。

根据风险管理实践中的惯例，Vt可以看作是关于时间和d维风险因子组成的随机向量Zt=（Zt，1，Zt，2，……，Zt，d）′的函数，我们用

来表示某个可测函数f：ℝ+×ℝd→ℝ。通常情况下，假设风险因子是可被观测的，从而Zt在t时刻是已知的。风险因子和函数f的选择显然是建模过程中要处理的问题，且依赖于掌控的交易组合以及对精确度的期望水平。最常用的几个风险因子包括金融资产的对数价格、投资效益以及对数汇率。上式中对交易组合市值的表示形式被称为风险的一个映射。下面给出一些标准交易组合映射的例子。

为了方便起见，下面用Xt：=Zt-Zt-1来定义风险因子变化的序列（Xt）t∈ℕ，该序列是绝大多数关于金融时间序列的统计研究中各学者感兴趣的对象。运用上述交易组合市值的映射可将交易组合的损失写成：

由于Zt在t时刻的值是已知的，故损失分布由风险因子的变化值Xt+1决定。因此，引入了一个新的符号，也就是损失算子l［t］：=ℝd→ℝ，它是从风险因子变化到损失的映射。其定义如下：(www.xing528.com)

显然，Lt+1=l［t］（Xt+1）。

若f可微，考虑（2.1.3）式所表示损失的下述形式的一阶近似估计：

其中f的下标表示偏导数。符号LΔ来源于用金融衍生品进行对冲时的标准delta术语。关于上式的线性化损失算子表示为

一阶近似估计可以将损失看成是风险因子变化的线性函数。在风险因子的变化非常小（即在一个很短的时间区间内对风险进行度量），并且交易组合的价值关于风险因子几乎是线性（即函数f具有非常小的二阶导数）的情况下，（2.1.5）式所表示的近似估计效果显然是最好的。

注2.1.2　在式（2.1.2）到（2.1.6）中我们假设时间单位为区间Δ。为了符合我们案例中的市场公约，有时需要考虑形如g（s，Z）的映射，其中时间s的单位为年。在这种情况下，式子（2.1.2）和（2.1.3）就分别变成了Vt=f（t，Zt）=g（tΔ，Zt）及

Lt+1=-（g（（t+1）Δ，Zt+Xt+1）-g（tΔ，Zt）），

其中，Δ表示以年为单位的风险管理区间长度。需要注意的还有（2.1.5）式所表示损失的线性化形式变为了：

注意到，当所处理的是一段很短的时间区间Δ时，上式中项gs（tΔ，Zt）Δ的值非常小，因此在实际中通常忽略不计。

注2.1.3　注意到，我们对交易组合损失的定义中都默认假设经过时间区间Δ后交易组合的组成成分保持不变。这对于日损失问题很小，但对于较长的时间范围来说，这种假设就变得越来越不现实。对于像保险公司这样的非金融企业来说这是个问题，因为这类公司通常会以一年的时间区间为单位来对他们的金融交易组合风险进行度量，而该时间区间对于他们来说也是处理其日常商业风险合适的区间范围。需要注意的是，在巴塞尔协议的相关内容中，也会正式地要求银行业的风险计算需在交易组合的组成成分在其持有期Δ（对于市场风险来说一般是10天）内保持不变的假设条件下进行。