混业经营下金融风险度量工具：基于损失分布函数和其他方法

这部分的主要目的是对损失分布的一些其他统计特性进行探讨，这些统计特性在金融、保险及风险管理中被频繁用来对风险进行度量。就如前面两个部分一样，我们假设损失分布Fl在分析开始时就已经确定了。

（1）方差。在以往的研究中，盈亏分布（P&L distribution）的方差是最主要的金融风险度量工具。方差的使用在很大程度上归功于Markowitz投资组合理论对金融领域理论和应用的巨大影响，其在著作中就以方差作为风险的度量。方差是一个很好理解、也非常容易分析运用的概念。然而，作为风险度量工具，它存在两个主要的缺点。从技术的角度来看，若用方差来作为风险度量，则必须假设损失分布的二阶矩存在。尽管这对大多数金融收益分布来说问题不大，但在某些非寿险领域或操作损失的分析中仍存在问题。从概念的角度来看，由于它没有区分与均值之间的正负差距，因此它只对关于均值对称（或近似对称）的损失分布来说是比较好的度量，如正态分布或者（有限方差的）t分布等。然而，在风险管理的许多领域，如信用风险及操作风险管理中，损失分布通常是高度不对称的。

（2）下偏距和上偏距。偏距是基于分布函数的上尾部和下尾部的风险度量。在风险管理的大多数文献中，主要关注的是盈亏（P&L）分布的下尾部中所隐含的风险，以便对该风险进行度量，故其主要关注的是下偏距。而在本书中，我们主要关注的是损失分布的上尾部中所隐含的风险，故主要关注的是上偏距。给定指数k≥0及点q，上偏距UPM（k，q）的定义如下：

k和q的某些取值具有特殊的意义：当k=0时，可由上式得到P（L≥q）；当k=1时，可得E（（L-q）IL≥q）；当k=2且q=E（L）时，可得L的上半方差。当然，选择的k值越大，得到的风险度量值就越保守。这是因为越大的k值意味着对偏离q值的大偏差所赋予的权重越大。

（3）预期亏损。预期亏损与VaR紧密相关。以下是其定义：

定义2.2.3（预期亏损）　对于满足E（｜L｜）＜∞且分布函数为FL的损失变量L来说，其置信水平为α∈（0，1）的预期亏损定义如下：

其中，qu（FL）=F←L（u）是分布函数FL的分位数函数。

由此，预期亏损与VaR的关系可以表示为

在预期亏损的计算中，我们不再只对固定的某个特殊置信水平α下的VaR值进行求解，而是对所有u≥α水平下的VaR值求平均，即对损失分布的尾部进行“更深入的分析”。显然，ESα的值仅依赖于L的分布且ESα≥VaRα。(www.xing528.com)

对于连续损失分布函数来说，预期亏损有更直观的表达式，且由该表达式看出预期亏损可以解释为超过VaR的损失的期望值。下面不加证明地给出相关引理。

引理2.2.2　对于具有连续分布函数FL的可积损失变量L及任意的α∈（0，1）有

其中，E（X；A）：=E（XIA）。对该引理的证明只需利用连续分布函数反函数的相关性质即可，这里不再赘述。

下面的引理以次序统计量的形式给出了关于预期亏损的大数定律。

引理2.2.3　对于分布函数为F｛L｝独立同分布随机变量序列Gt来说，有下式成立

其中，L1，n≥…≥Ln，n是L1，…，Ln的次序统计量，［n（1-α）］表示不超过n（1-α）的最大整数。

也就是说，置信水平为α的预期亏损可以看成是损失分布的n个样本中上［n（1-α）］个次序统计量的极限均值。该表达式很显然给出了在拥有大量样本且［n（1-α）］为一个相对较大的数时，对预期亏损进行估计的一种方法。当然，在实际应用中这不太可能实现，除非用风险估计中的蒙特卡洛模拟法，该方法将会在后面进行介绍。对该引理的证明可以参考Acerbi及Tasche（2002）中的性质4.1。

由于ESα可以看成是大于或等于VaRα的所有损失的一个平均值，故其对超过VaRα的损失大小很敏感。这是预期亏损的优点之一。