社会统计学：平稳性数字特征

平稳性是某些时间序列具有的一种统计特征。 要描述清楚这个特征，必须借助如下统计工具。

（1）概率分布

分布函数或密度函数能够完整地描述一个随机变量的统计特征。 同样，一个随机变量族的统计特性也完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定。

对于时间序列｛Xt，t∈T｝，这样来定义它的概率分布：

任取正整数m，任取t1，t2，…，tm∈T，则m 维随机向量（Xt1，Xt2，…，Xtm）′的联合概率分布记为Ft1，t2，…，tm（x1，x2，…，xm），由这些有限维分布函数构成的全体｛Ft1，t2，…，tm（x1，x2，…，xm），∀m∈正整数，∀t1，t2，…，tm∈T｝就称为序列｛Xt｝的概率分布族。

（2）特征统计量

一个更简单、更实用的描述时间序列统计特征的方法是研究该序列的数字特征，特别是均值、方差、自协方差和自相关系数。

尽管这些特征统计量不能描述随机序列全部的统计性质，但由于它们概率意义明显，易于计算，而且往往能代表随机序列的主要概率特征，所以对时间序列进行分析，主要就是通过分析这些统计量的统计特性，推断出随机序列的性质。(www.xing528.com)

①均值。 对时间序列｛Xt，t∈T｝而言，任意时刻的序列值Xt 都是一个随机变量，都有它自己的概率分布，不妨记为Ft（x）。 对于连续性随机变量，只要满足条件：

就一定存在着某个常数μt，使得随机变量Xt 总是围绕在常数值μt 附近做随机波动。称μt 为序列｛Xt｝在t 时刻的均值函数。

当t 取遍所有的观察时刻时，就得到一个均值函数序列｛μt，t∈T｝。 它反映的是时间序列｛Xt，t∈T｝每时每刻的平均水平。

③自协方差函数和自相关系数。 类似于协方差函数和相关系数的定义，在时间序列分析中定义自协方差函数（autocovariance function） 和自相关系数（autocorrelation coefficient）的概念。

对于时间序列｛Xt，t∈T｝，任取t，s∈T，定义γ（t，s）为序列｛Xt｝的自协方差函数：

定义ρ（t，s）为时间序列｛Xt｝的自相关系数，简记为ACF。

之所以称它们为自协方差函数和自相关系数，是因为通常的协方差函数和相关系数度量的是两个不同事件彼此之间的相互影响程度，而自协方差函数和自相关系数度量的是同一事件在两个不同时期之间的相关程度，形象地讲就是度量自己过去的行为对自己现在的影响。