社会统计学：回归方程预测

【案例】

纽约市政府利用相关分析监控违法建筑

拥有超过820 万人口的纽约市每年发生2.5 万余次火灾，这些火灾大多发生在违规改建的建筑中，纽约市政府每天接到6 万多次投诉电话，但只有200 个监察员根据投诉电话随机检查被投诉建筑。 市长数据分析办公室帮助消防局改变了这种被动的局面。

消防局专门拨出200 个监察员用于监察非法建筑的存在，监察员们的常规做法有两种：伪装成租客前去家庭旅馆勘察是否存在非法改建情况，或者根据纽约市311 投诉电话的居民投诉随机检查非法建筑。

纽约市每天收到6.5 万次投诉，有关非法改建的投诉通常来自曼哈顿区，而实际上非法建筑常常存在于布鲁克林、皇后和布朗克斯各区的外围。

市长数据分析办公室的主管Michael Flowers 在纽约市街头走访，和消防员、警察、大楼管理员等人进行交谈，尝试找出与建筑物是否违法改建相关的因素。 作为一个之前没有过程序设计和统计基础的分析师，Michael Flowers 最终带领手下的7 个数据分析师成功地建立了一个消防检测系统，该系统将全市的33 万栋建筑划分为60 个火灾风险等级，纽约市的341 个消防单位根据这个系统决定每周的常规检查路线和重点检查建筑。 这个系统将监察员现场签发房屋腾空令的比例从17%上升至70%。 除了消防检测系统外，Michael Flowers 还协助纽约市政府做了许多其他的工作，他帮助纽约市政府在桑迪飓风来袭后完成灾后重建系统，通过标注每栋建筑是否含有发电机确定它是否应该优先投入使用：他使用相关分析洞察60 个变量的关系。 与一栋大厦是否可能发生火灾相关的常见因素有大厦的类型（家庭、工厂、商场）、大厦的高度、施工材料、建筑的新旧程度等，即便是不了解消防知识的普通市民也能将这些因素和火灾联系起来。

Michael Flowers 通过多区域居民平均收入、建筑物年龄、是否被投诉过、是否存在电气性能问题等因素建立多元回归分析，成功地预测了火灾发生的可能性，为规避火灾起到了很大的作用。

【例10.1】

财政收入预测问题

某地财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。 表10.2 列出了1952—1981 年的原始数据，试构造该地财政收入的预测模型。

表10.2　某地财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值等关系数据表

续表

问题分析与建模　根据问题要求，做如下假设：

①设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，财政收入为y。

②根据历年相关数据情况，建立如下多元回归模型：

y ＝ax1 ＋bx2 ＋cx3 ＋dx4 ＋ex5 ＋fx6

模型求解（含程序）　根据上述模型，采用非线性回归方法求解。

①对回归模型建立M 文件model.m 如下：

②建立主程序CZYC.m 如下：

③求解结果。

运行程序，即得：

从而可得，财政收入预测模型为：

y ＝0.524 3x1 － 0.029 4x2 － 0.630 4x3 ＋0.011 2x4 － 0.023 0x5 ＋0.365 8x6

结论　根据该模型，当得到1983 年国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资的具体数据后，即可以得到当年的财政收入预测值，这对该地的财政预算、经济发展决策与分析将起着很好的指导作用。

【例10.2】

商品需求预测

根据历史资料，某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如表10.3 所示，请根据该数据建立回归模型，预测当消费者平均收入为1 000 单位、商品促销价格为6 单位时的商品需求量。

表10.3　商品需求量、销售价格与消费者收入之间的关系

分析与建模　假设商品需求量、消费者收入与销售价格分别为y，x1，x2。 根据表10.3的数据，作散点图，可以发现，该数据之间的关系有可能存在二次函数关系。 于是考虑用纯二次、交叉二次或完全二次对其进行建模比较，选择最优结果。

①选择纯二次模型进行建模求解，即：(www.xing528.com)

②选择交叉二次模型进行建模求解，即：

③选择完全二次模型进行建模求解，即：

模型求解及比较

①数据输入：

②分别针对上述3 种模型进行回归分析、检验及预测：

rstool（x，y， purequadratic ）.

纯二次模型的结果：

得到一个交互画面（图10.1），给出两幅图形，左边是商品价格固定时，需求量关于消费者收入的曲线及其置信区间，右边是消费者收入固定时，需求量关于商品价格的曲线及其置信区间。

图10.1　纯二次模型

将左边图形下方方框中的“800”改成“1 000”，右边图形下方的方框中仍输入“6”，则画面左边的“Predicted Y”下方的数据由原来的“86.379 1”变为“88.479 1”，即预测出平均收入为1 000、价格为6 时的商品需求量为88.479 1。

交叉二次模型的结果：

图10.2　交叉二次模型

将左边图形下方方框中的“800”改成“1 000”，右边图形下方的方框中仍输入“6”，则画面左边的“Predicted Y”下方的数据由原来的“78.475 21”变为“81.448 3”，即预测出平均收入为1 000、价格为6 时的商品需求量为81.448 3。

完全二次模型的结果：

图10.3　完全二次模型

将左边图形下方方框中的“800”改成“1 000”，右边图形下方的方框中仍输入“6”，则画面左边的“Predicted Y”下方的数据由原来的“87.909 3”变为“89.101 9”，即预测出平均收入为1 000、价格为6 时的商品需求量为89.101 9。

在画面左下方的下拉式菜单中选择“all”，则beta，rmse 和residuals 都传送到MATLAB 工作区，于是在MATLAB 工作区中输入命令：

故回归模型为：

剩余标准差为4.536 2，说明此纯二次回归模型的显著性较好。

模型检验　运用多元线性回归进行检验，即假设该模型为：

仿真验证其参数程序：

结论及分析　可以看出，两种方法的结果是一样的。 stats 中第一个数据与1 非常接近，第三个数据与0 非常接近，表明所得的模型限制性很好。