GARCH模型：后危机时代中国外汇储备结构问题研究

自回归条件异方差模型（ARCH）模型最早由恩格尔（Engle，R.1982）[109]提出，并由Bollerslev（1986）[110]发展成为GARCH模型——广义自回归条件异方差模型。这些模型后来被广泛应用与金融时间序列分析中。

（一）ARCH模型

ARCH模型的主要思想是：扰动项ut的条件方差依赖于前期的条件方差值ut-1的大小。ARCH（p）模型表示时刻t的ut条件方差（σt）依赖于时刻t-1、t-2、…、t-q的扰动项平方的大小，即依赖于u2t-1、u2t-2、…、u2t-q。

如果我们用X2t表示波动性，即，当波动性大时，X2t值就大，波动温和时，X2t值就小。

ut的条件方差σ2t由两部分组成：一个常数项和前一时刻关于变化量的信息，用前一时刻的扰动项平方u2t-1表示ARCH项，上述（4.7）式表示ARCH（1）过程。

那么，一个自然的延伸ARCH（p）过程，可以写为：

若误差方差不存在自相关，我们有：

在这种情况下，Var（ut）=σ2=α0，即不具有ARCH效应。

由于ut是随机的，且u2t不可能为负数，所以只有Var（ut）是正数才是合理的，为使u2t协方差平稳，进一步要求方程1-α1z-α2z2-…-αpzp=0的根位于单位圆内，如果ai为非负，也就是α1+α2+…+αp＜1，此时具有ARCH效应。(www.xing528.com)

（二）GARCH模型

由于ARCH模型在滞后阶数扩大，而样本有限时，将会违反估计系数不能为负数的规定，这是保证条件异方差为正数的前提。为了弥补ARCH模型的缺陷，用一个简单的GARCH模型代替高阶的ARCH模型。

基于ARCH模型的基础上，波勒斯列夫（Bollerslev）最早提出了广义自回归条件异方差（GARCH）模型，是比较常用的估计波动率的动态模型。

最简单的GARCH模型便是GARCH（1，1），GARCH（1，1）模型是估计波动率经常用到的模型，写为：

由于σ2t是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以（4.11）式被称作条件方差方程。

4.11式给出的条件方差t时期u的条件方差σ2t不仅不取决于上一期t-1误差项的平方（如ARCH（1）中一样），还取决于上一期的条件方差σ2t-1，此外还取决于常数项α0。这个模型推广到GARCH（q，p），即模型中条件方差的q阶滞后和误差平方项的p阶滞后，即由GARCH项和ARCH项组成，p为扰动平均ARCH项的阶数，q为自回归GARCH的阶数。GARCH（q，p）模型的条件方差方程的一般形式如下：

式中，p＞0且βj≥0，0≤i≤p，α（R）、β（R）为滞后算子多项式。为了GARCH（p，q）的条件异方差为正数，则相应的ARCH（∞）模型σ2t=θ0+θ（R）u2t的所有系数都为正。只要α（R）、β（R）没有相同的根并且β（R）的根全部都位于单位圆外，那么当且仅当的所有系数都非负时，这个正数限定才会满足。例如对于GARCH（1.1）式（4.13）模型，三个参数都为非负数。