分离变量求解线性波浪定解问题

分离变量法是一种经典的方法，它充分利用了定解问题的线性性质，由简单的解叠加而获得有意义的比较复杂的数学物理问题解。尽管目前其他一些适用范围更为广泛的处理方法（奇点分布法、差分法、有限单元法等）已经日趋成熟，但由于分离变量法的简捷，在线性波浪理论中仍不失为一个有力工具，特别在边界形状和规则比较简单时更是如此。

分离变量法的主要思想是假定在某一个正交坐标系（x，y，z）中，解可表示为三个函数的乘积，它们各自为某一坐标变量的函数。最终把原问题的偏微分方程的求解过程化成三个常微分方程的求解。与此相应，边界条件也必须能够进行变量分离，从而唯一地确定求解常微分方程过程中出现的任意常数。显然，选取坐标系的形式不同，解的形式也不同。原则上坐标系的选择应由边界形状或对称性来决定。下面就两种较为简单的情况加以讨论，并阐述分离变量法在波浪理论中的应用。

在二维直角坐标系（x，z），拉普拉斯方程为

设该方程的形式解为

将上式代入拉普拉斯方程式（3.1），即有

或者

既然式（3.3）中各项仅分别与一个变量有关，它们只能是等于某一个常数A。故解的最终形式由常数A的正负号决定。

（1）A=n 2（＞0）。

这时式（3.3）等价于下列两个常微分方程：

式中，右上角的两撇表示该函数对相应自变量的两次导数。这两个方程的通解分别为

式中，A′1、B′1、A 1、B 1、C 1和D 1是任意常数，它们可以是复数。在Z（z）的第二个表达式中，仅取其实数部分。必须注意的是，对复数的线性运算，先取实部再运算与先运算最后取实部其结果是一样的，但对非线性运算则不然，必须先取实部再进行运算。

（2）A=-m 2（＜0）。(www.xing528.com)

这时的通解恰好为情况（1）中将变量互换而得的解，即

式中，A 2、B 2、C 2和D 2是任意常数。

（3）A=0。

这时，式（3.3）变为

通解为

式中，A 3、B 3、C 3和D 3也是任意常数。

将上述三组解分别代入式（3.2），得到拉普拉斯方程的基本形式解可分别表示为

由于拉普拉斯方程的线性性质，上述基本解可通过线性叠加而得到满足各种需要的形式解。

上述通解中系数A i、B i、Ci、D i（i=1，2，3）和常数m、n都还是待定的。这些待定系数、常数及解的最终形式的确定，需要有边界条件和初始条件，而这些定解条件的提法因具体问题而异。

严格来说，φ可以是时间t的函数，即φ（x，z，t）=X（x，t）Z（z，t），这时通解中的系数都应认为是时间t的函数。