水文学原理（第2版）：土壤水分运动基本方程

达西定律是描述多孔介质中流体流动所应满足的运动方程，但单独的达西定律只能说明稳定的水流过程，对于非稳定的水流过程，其水流通量和水势梯度的大小随时间而变化。因此，1931年，Richards将质量守恒原理和达西定律相结合推导得出土壤水分运动的基本方程。

1.非饱和土壤水流的基本方程

根据质量守恒原理，一定时间内，流入和流出该单元体水量的差值应等于该单元体内土壤水分质量的变化量（图5.5），即有

图5.5　直角坐标系中的土壤基本单元体示意图

式中：θ为土壤的体积含水率，cm3／cm3；其余符号意义同前。

若土壤的固相骨架不变形，水的密度保持不变，可得

根据达西定律，有

将其代入式（5.16），得

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式（5.17）即为描述非均质非饱和土壤水流运动的基本方程，即Richards方程。

当土壤为均质时，Kx（θ）=Ky（θ）=Kz（θ）=K（θ），方程变为

若令

则

式中：D（θ）为非饱和土壤水分的扩散率，是土壤含水率θ的函数。式（5.19）为描述均质非饱和土壤水分运动的基本方程。

2.饱和土壤水流的基本方程

对于饱和土壤来说，土壤含水率不随时间而发生变化，即∂θ/∂t=0，且K（θ）为常数。因此，式（5.17）可变为

式（5.20）为饱和土壤水流运动的拉普拉斯（Laplace）方程，Δ2为拉普拉斯算子。可以看出，饱和土壤的水分运动方程比非饱和土壤简单得多。