流体运动中的能量方程：描述各种能量关系的基本方程

在聚合物加工成型过程中，材料先被高温加热，最后冷却定型，经历了固态、玻璃态、高弹态、黏流态，最后定型到固态产品的转变。在聚合物加工成型过程中，随着温度场的变化伴随着流动能量的交换。能量的交换是由温度差所引起的。在多数情况下，借热流动在两系统间或同一物体的不同部分进行能量交换是热力学能量传递的问题，在流动过程能量交换时是热传递的问题^[4,10,11]。对于这种热力学能的交换，热力学第一定律规定，一物体给出的热应等于另一物体获得的热。热力学第二定律规定，热的传递是由较热系统流向较冷系统。

在进行热量传递过程中，有时还会有其他形式的能量同时出现。全面描述各种能量之间关系的最常用的方程为微分能量方程，简称能量方程(Energy equation)。描述流体运动的第三个基本方程是能量方程。能量方程是能量守恒定律对于运动流体的表达式，是以热力学第一定律为基础导出的。

本小节简要概述热量传递的方式和基本物理定律，应用热力学第一定律推导能量方程，最后介绍能量方程在特定情况下的表达式，包括热量传递的方式和基本物理定律、微分形式能量方程、特定条件下的能量方程、正交曲线坐标系的能量方程4部分。

按导热、对流传热和辐射传热三种方式热量传递。在大多数实际的问题中，属于同时出现其中两种或三种传热方式的情况。这里仅简要介绍这方面的知识，以便于理解能量方程的推导。读者根据需要可查阅参考文献学习传热学的知识。

(1)热传导

热传导可以发生在固体、液体和气体中。流体和非金属固体内的导热是由于分子的微观运动直接交换动能，而纯金属的导热则是通过自由电子的漂移。热传导通过分子运动，使一物体同另一物体或物体一部分同另一部分之间发生热力学能交换。当流体中存在温度梯度时，由于分子的无规律运动，结果是具有较高能量（高温度）的分子转移到具有较低能量分子的区域，从而产生热量传递。在非金属固体内，由于分子在其平衡位置处的不断振动，将能量由高温区传递至低温区。

在2.3.2节介绍了描述导热现象的傅立叶定律(Fourier’s law)，其矢量式为(2.3.16)

导热系数κ是物质的物理性质。式(2.3.16)中假定传热系数与导热方向无关，即物质是各向同性的。不同种类物质的传热系数数值差别很大。对于同一物质，导热系数主要是温度的函数，压力对它的影响不大。在高压或真空下，气体的导热系数受压力的影响。

(2)对流传热

对流传热是由于流体微团的宏观运动所致。对流传热可以由强制对流或自然对流引起。强制对流是将外力施加于流体上，如机械设备迫使流体微团发生激烈运动。自然对流则由于流体内部存在温度差，形成流体的密度差，从而使流体微团在微团壁面与其附近流体之间产生循环运动。在流体宏观流动中，对流的发生引起其中一部分流体同另一部分流体的混合；当固体壁面与其邻近的流体之间存在温度差时，由于流体微团位移的结果，便在壁面与流体之间发生对流热交换。事实上不可能观察到流体内的纯热传导，因为温度差一加到流体上，就会因密度差而发生自然对流。

可用牛顿冷却定律表述对流传热通量，即

式中，q为与对流传热方向相垂直的传热面上的单位面积对流传热通量，W；k为表面传热系数，或称膜系数，W/(m²·K)；T_∞－T_w为固体壁面与流体主体间的温度差，K。

式(3.2.29)中的表面传热系数k不是物性常数，它与许多因素有关。诸如固体壁面的几何形状和粗糙情况、流体的物理性质和流体流动的特征。流体流动的特征包括流动的起因、流速、状态和流型，以及温度差和相变化等。这些影响因素与膜系数k之间的关系十分复杂，至今仍未能彻底研究清楚。但是，有一点是肯定的，即流体流动的流型和流速对k有非常显著的影响。如强制对流的流体速度比自然对流速度大，可见前者的传热强度大于后者的传热强度。

从边界层理论可知，当流体沿固体壁面流过，即使在强烈紊动的情况下，壁面附近仍存在一层层流底层，此处的流体作层流流动，且紧贴壁面的一层流体静止不动。由此可知，壁面附近的传热只能依靠导热。壁面与流体主体之间的传热阻力主要集中于上述层流内层之中，因此，表面传热系数又称为膜系数。式(3.2.29)也可用来描述有相变的传热过程，即冷凝传热和沸腾传热过程。

(3)辐射传热

辐射传热过程的机理与导热、对流传热很不相同，后两者需在介质中进行，而热辐射无须任何介质。热可由一物体传到另一物体。没有传递介质是辐射传热的一个特征。只要物体的温度高于绝对零度，它就可以发射能量，这种能量以电磁波形式向空间传播。具有能量的这部分电磁波是具有一定波长为0.76~10³μm的光子，称为热辐射线。当热辐射线投射到较低温度的物体表面时，将部分地被较低温度的物体表面吸收而变为热能。两辐射物体间，不断进行能量交换，有净能量从较热的物体传到较冷的物体。在热平衡情况下，仍存在能量交换，不过交换的净能量为零。

在单位时间内，单位表面积的绝对黑体所发射出去的能量，称为绝对黑体的发射能量，可用斯蒂芬—波尔茨曼(Stefan-Boltzmann)定律描述为

式中，q₀为单位面积黑体的发射能量；T为黑体表面的热力学温度；σ为黑体的发射常数，即斯蒂芬—波尔茨曼常数，σ＝5.669×10^－8W/(m²·K⁴)。

由式(3.2.30)可见，辐射传热的第二特征是辐射物体温度高低对辐射传热的影响。辐射交换的热量同辐射物体绝对温度四次方之差成正比。对于给定的温度差，高温时的传热量比低温时要大得多。需要指出的是，式(3.2.30)只适用于绝对黑体，并且对于热辐射才是正确的。对于其他形式的电磁波辐射，该式不能成立。

在常温下，譬如室温或低于室温的场合，则辐射传热量很小，可忽略不计。在略去辐射传热的场合，导热和对流传热可以单独或同时出现。一般固体内部不存在物质质点的宏观运动，可认为其中只存在导热过程。在流体内部或流体与固体壁面之间，传热机理较为复杂，该处所进行的传热过程既非单纯的导热，也非单纯的对流，往往是两种方式并存。一般而论，无论是层流还是紊流下的热量传递总是导热与对流传热同时出现，通常习惯将此种传热过程称为对流传热。物质的传热系数、膜系数等可查阅有关工程手册。

运动流体与固体壁面传热时，同时发生动量传递和热量传递现象。要全面描述流体与壁面之间传递过程的规律，除了确定速度场和压力场外，还需要确定流动区域内每一点的流体温度T(M，t)的能量方程。能量方程是能量守恒定律对于运动流体的表达式。下面依据能量守恒定律推导流体的微分形式的能量方程。

根据能量守恒定律，即热力学第一定律：

在充满运动流体的空间区域Ω中，任取一包围流体体积为V的闭曲面S，n为曲面外法线单位矢量。如图3.2.6所示。设：

图3.2.6 任意流体系统

① U(T，p)为系统中单位质量所具有的热力学能，包括分子热运动能量，分子间相互作用能量，分子与原子热力学能量，是状态(T，p)的函数；

② ρu²/2为系统中单位质量所具有的动能；

③ g为单位质量受的质量力；

④ T为系统界面上所受的表面应力；

⑤ 为辐射或其他物理或化学等原因贡献的热量。

略推导过程，运用能量守恒定律，即热力学第一定律，得积分形式能量方程式为

(1)用积分形式的能量方程直接导出

利用奥—高公式将式(3.2.31)中的所有的面积分化为体积分，最终将其改写为

因为dV是任意体积，流体连续即限定的被积函数是连续的，上式等于零的唯一可能就是被积函数等于零，得到微分形式的能量方程为

或写为

当热传导系数κ是常数时，上式可写成微分形式能量方程的另一种形式

式(3.2.33a)中各项的物理意义是十分明显的。左边第一、二项代表单位体积动能和热力学能的随体导数；右边第一项是单位体积内质量力所作的功，第二项代表单位体积内表面力所作的功，第三项单位体积内由于热传导传入的热量，最后一项代表单位体积内由于辐射或其他物理或化学等原因贡献的热量。

用张量表示式(3.2.33a)，得到张量表示的能量方程为

在直角坐标系中，式(3.2.32)的具体表达形式为

在聚合物流体流动中，质量力大大小于其他的力，可以忽略。如果忽略质量力，运用张量运算公式，可得到张量表示的能量方程

式(3.2.35)是微分形式能量方程的另一种形式。式中各项的物理意义也是十分明显的。此式的物理意义可叙述为：单位体积内由于流体变形表面力所作的功加上热传导和辐射或其他物理或化学等原因传入的热量恰好等于单位体积内的热力学能在单位时间内的增量。

在直角坐标系中，不可压缩流体的微分形式能量方程式(3.2.35)的形式为

用温度T和比热容c_v表示上式中的热力学能U，得到温度和应力表示的能量方程

(2)用拉格朗日观点直接推导能量方程

在运动流体中，按照拉格朗日观点，选定某一固定质量的流体微团，在整个流动过程中考察该流体微团的能量转换情况。该流体微团没有流体质量的流入与流出，仅有体积和密度的变化，它对外做膨胀功和摩擦功，改变自己的形状。当流体微团运动时，与观察者之间没有相对速度，故没有动能和位能的变化。流体微团的总能量中，只有热力学能发生变化。同时，流体微团的表面与周围流体间进行导热的能量传递，以及由于辐射或其他物理或化学等原因进行的热量传递。流体微团对环境流做功一项表现为表面应力对流体微团做功，表面应力是由于受与其毗邻流体的压力和黏性应力的作用而产生。于是将热力学第一定律应用于该流体微团，有

上述文字方程右侧中采用加号的原因是由于环境流体对微团做功所致，用随体导数的形式表达该文字方程式为

式中，U为每公斤流体的内能；Q为对每公斤流体加入的热量；W为表面应力对每公斤流体做功时，转变为流体热力学能的部分。由于式中各项均为针对每公斤流体而言的，故各项的单位均为J/(kg·s)。

在直角坐标系中，研究一个平行六面体的流体微团控制体。若某瞬时流体微团的密度为ρ、体积为dxdydz，则其质量为ρdxdydz。现将式(3.2.37)两侧同时乘以流体微团的质量，得

式中，左侧为流体微团热力学能的增长速率；右侧第一项为对流体微团加入的热速率；第二项为表面应力对流体微团所作的功率。各项的单位均为J/s。

用欧拉法表达式(1)中的各项能量速率。对于涉及的热力学知识只是引用没有详细介绍，读者根据需要可参看参考文献。

① 向流体微团加入的热速率。进入流体微团的热能有两种，一是由环境流体对微团控制体的热传导，导入流体微团的热能，二是考虑热辐射和其他物理或化学现象。

(i)由环境导入流体微团的热速率，可依下法确定。参见图3.2.7所示。

图3.2.7 以热传导方式输入流体微团的热量

设沿x方向由流体微团左侧平面输入的热通量为q_x，则由右侧平面输出的热通量。根据热力学第一定律，向流体微团净输入的热能取为正值，因此沿x方向净输入此流体微团的热流速率等于（输入-输出）热流速率，即(www.xing528.com)

同理，沿y方向净输入此流体微团的热流速率为

沿z方向净输入此流体微团的热流速率为

将上述三式相加，即得以导热方式净输入流体微团的净热流速率为

由傅立叶定律式(2.3.16)，直角坐标系的单位面积热通量的分量，为

假定流体是各向同性的，即κ为常数。将式(3)代入式(2)，得到以导热方式输入流体微团的热流速率为

由于向流体微团中加入的热速率为导热速率与微团内部释放的热能速率两者之和，故式(1)中右侧的第一项化简后可写成

或写成矢量形式

(ⅱ)表面应力对流体微团所做的功率。在3.2节详细地分析了作用在流体微团的表面应力是由于流体微团表面受到与其毗邻流体的压力和黏性应力的作用产生的。在表面应力作用下，流体微团将发生体积变形（膨胀或压缩）和形状变化（角变形）。由于应力和变形速度之间的关系十分复杂，因此表面应力所做的功也十分复杂，这里只做简单处理。

表面应力张量T单位时间内做的功为T·u，黏性力对于单位流体所作的功率为

将牛顿流体应力和变形速度的本构方程式(3.1.29)

代入式(6)中，于是式(3.2.37)

中等式右边的第二项，表面应力对流体微团做功一项可表示为

式中，－pΔ·u为流体压缩时压力所作的功率，负号表示压力的方向与流体微团表面的法线方向相反；Φ为黏性力作用使单位体积流体微团流体产生摩擦热速率，其单位为J/(m³·s)。

Φ表示了表面应力在扭变流体时所作的功率，也称为耗损函数。它表征了由于剪切黏性耗损掉的机械能。对于高速或黏性很大的流体流动问题，才考虑摩擦热速率。

在直角坐标系中摩擦热速率Ф与速度变形速度的关系为

即

对于不可压缩流体Δ·u＝0，在直角坐标系中摩擦热速率Φ为

将式(5)和式(7)代入式(3.2.37)，得到用热力学能表示的能量方程

式中，Ф单位为J/(m³·s)。

式(3.3.39)的物理意义是单位体积内由于流体变形力所作的功加上热传导和辐射等其他原因传入的热量恰好等于单位时间内单位体积热力学能的增加。

当物质定容比热容c_V为常量，且忽略热力学能U随压力p的变化时，用温度T和比热容c_V表示上式中的热力学能U，则能量方程式(3.2.39)，转化为

式(3.2.39)表示的能量方程为描述流体流动时有内热源、摩檫热损耗的普遍形式。在实际工程问题中，可以忽略该方程的某些项不存在或相对较小的量。因此，在一些特定条件下，能量方程可以简化。下面介绍如何在特定条件下简化能量方程^[4]。

(1)没有耗损热的能量方程

摩擦热速率，即耗损函数Ф是单位体积黏性流体摩擦热速率而耗损的功率，它的大小与流体流速u和黏性有关，可以查阅有关专著。高黏度或在高速下运动的流体除外，通常情况下函数Ф很小，简化能量方程(3.2.40)，有

(2)不可压缩流体的对流传热

在无内热源情况下，在对流传热时，假设Φ＝0，能量方程式(3.2.40)简化为

若ρ为常数，对于不可压缩流体 Δ·u，由式(3.2.41)简化为

对于不可压缩流体或固体，定容比热容c_V与定压比热c_p[J/(kg·K)]大致相等，即c_V≈c_p，于是式(3.2.42)变为

定义上式中， α＝κ/ρc_p，α 为热扩散系数或传热系数 (Thermal Diffusivity)，m²/s；于是有

式(3.2.44)为对流传热方程，在直角坐标系的展开式为

如果考虑热耗损 Ф和内热源，对流传热方程式(3.2.43)，变为

(3)固体或静止流体内的热传导

由于固体内部不存在分子的宏观运动或在静止流体内，都有u＝0，故温度的随体导数中不存在迁移导数，即u·ΔT＝0；此外固体密度ρ为常数，且忽略热耗损Φ＝0，可简化式(3.2.46)，可得非稳态传热方程

即

在直角坐标系上，展开上式为

① 如无内热源，，热传导方程又简化为

式(3.2.48)为固体中或静止流体内无内热源存在时的不稳定热传导方程，通常称为傅立叶场方程(Fourier′s field equation)或傅立叶第二导热定律。

② 对于稳态问题，，式(3.2.47a)变为泊松(Poisson)方程

式(3.2.49)表达有内热源存在时的稳态热传导问题。

③ 无内热源时的稳态导热，热传导方程变为简单形式的拉普拉斯(Laplace)方程

采用与推导不稳定传热导方程相似的方法，可导出质量传递的不稳定扩散方程

式中，c为物质的量浓度；D为扩散系数。如果考虑化学反应和惯性力，得到方程

在工程常要使用曲线坐标系，可以使用上面介绍的方法具体推导柱坐标系和球坐标系热传导方程式。这里略去推导过程，直接给出式(3.2.46)对应的不可压缩流体曲线坐标系对流传热方程。

(1)柱坐标系对流传热方程

① 考虑热损耗的无内热源能量方程

其中

② 无内热源的应力表示能量方程

(2)球坐标系对流传热方程

① 考虑热损耗的无内热源能量方程

其中，

② 无内热源的应力表示能量方程

详见附录1公式表的表1.1.4无内热源和热损耗的应力表示的能量方程。