【摘要】：拉格朗日乘子法实质上通过引入待定乘子，将约束问题转化为无约束极值问题来求解。先求拉格朗日函数的极值，在极值点上，F（x，λ）的梯度必须等于零，即解方程组和方程，即可求得x*和拉格朗日乘子μ*。式说明λj及Sj中至少有一个为零。
将有约束问题转化为无约束优化问题，作为基础方法的为拉格朗日乘子（Lagrange Multipliers）法。当约束条件不多时，此方法比较有效，尤其适用于等式约束问题。拉格朗日乘子法实质上通过引入待定乘子，将约束问题转化为无约束极值问题来求解。
3.2.3.1 等式约束的极值问题
设求解问题为
引入拉格朗日函数
式中，μk为拉格朗日乘子。该乘子为目标函数f（x）随约束条件hk（x）的微小变化而变化的比率。先求拉格朗日函数的极值，在极值点上，F（x，λ）的梯度必须等于零，即
解方程组（3.2.11）和方程（3.2.12），即可求得x*和拉格朗日乘子μ*。
3.2.3.2 不等式约束的极值问题(www.xing528.com)
在实际问题中，经常会遇到不等式约束的极值问题：
引入松弛变量Sj，把不等式约束条件变换为等式约束条件：
于是拉格朗日函数为
拉格朗日函数F取极值的必要条件是
式（3.2.16）—式（3.2.18）共有（n+2m）个方程式，可用以求解（n+2m）个未知数xi，λj及Sj。式（3.2.17）保证了不等式gj（x）≤0成立。式（3.2.18）说明λj及Sj中至少有一个为零。如λj=0，则说明约束条件gj（x）在求解极值问题未起作用。如Sj=0，则说明约束条件gj（x）以等式的形式对变量起约束作用。
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