弹性侧移受压柱内外刚度解析计算方法研究

如图2.13（a）所示，在摇摆柱柱顶作用荷载，柱顶产生侧移δ，相当于在柱顶施加一假想水平力T=（δ）/l，如图2.13（b）所示。根据力的平衡条件，可以得到以下两个平衡表达式：

将杆件从任意截面mn截开，取下段为研究对象，对mn截面弯矩平衡得：

式中　Mmn=-EIy″。

由式（2.27）和式（2.28）可求解平衡微分方程为：

方程（2.29）的通解为：

存在如下边界条件：x=0，y=0；x=l，EIy″+c1y′=0，y=δ。

根据前述边界条件及式（2.30），可求得弹性侧移框架柱的扩展结构临界力：

式中　R1，R2———分别为柱上、下端横梁线刚度之和与柱线刚度之比。

由式（2.31）可求得弹性侧移框架柱内刚度为：

当上下端梁柱线刚度比R1和R2给定，随着支撑刚度从零递增，临界荷载逐渐增加，柱子的计算长度系数从μ逐渐减小；当增加到一个定值，由式（2.24）确定的临界荷载大于由式（2.13）确定的，表明柱屈曲此时由无侧移失稳控制，理论上，此时再增加，并不会导致临界荷载增加，此时柱无P-Δ效应，有P-δ效应，这个定值称为侧移临界刚度，记为。

该值可由式（2.13）和式（2.24）求得的临界荷载相同时求得的对应的支撑刚度来确定。由式（2.13）求得无侧移受压柱无量纲特征系数，记为，并将其代入式（2.6）可求得，则有[87]：

为了便于工程应用，根据不同的R1和R2取值，将式（2.33）侧移临界刚度计算值绘制成表[91]，见表2.6。(www.xing528.com)

表2.6　临界侧移刚度表

表中：R1和R2分别为柱上、下端横梁线刚度之和与柱线刚度之比。

侧移临界刚度的物理意义：

①当≥时，从理论上说，当侧移刚度大于临界侧移刚度后，再增加支撑侧移刚度并不能提高临界荷载，由于受建筑物初始偏心和侧向水平荷载产生的侧移影响，支撑刚度达到临界侧移刚度后，还不足以使得框架柱能够按照无侧移计算稳定性。《钢结构设计标准》（GB 50017—2017）第8.3.1条给出了按照强支撑无侧移框架柱计算稳定性的判别式：

式中　Sb———支撑结构的侧移刚度；

∑Nbi、∑N0i———第i层层间所有框架柱用无侧移框架和有侧移框架柱计算长度系数算得的轴压杆稳定承载力之和。

为了能够更好地反映侧移临界刚度与规范提供的强支撑无侧移支撑刚度Sb之间的关系，取受压柱上下梁柱线刚度比R1=R2，取值从0～50，计算Sb/比值变化，绘制图如图2.14所示。

图2.14　支撑刚度Sb/变化图

从图2.14可以看出，R1=R2从0～50范围变化，Sb/从3.75～2.90范围变化，因此，可以考虑将侧移临界刚度放大3～4倍作为区分有侧移和无侧移框架的判别标准。

②当0＜＜时，此时为弱支撑有弹性侧移框架，框架柱的临界力介于自由侧移框架柱和无侧移框架柱之间。计算发现，在R1=R2时，临界荷载与支撑刚度呈线性，当R1和R2相差很大时（20倍以内最大误差4%内），两者才呈现非线性关系。因此弱支撑框架柱临界力可近似表达为：

式中　KPcr0———按照无支撑自由侧移框架柱所求得的外刚度，可由式（2.25）计算求得；

KPcr1———按照强支撑无侧移框架柱所求得的外刚度，可由式（2.14）计算求得。

将式（2.25）和式（2.14）代入式（2.35）化简可得弱支撑弹性侧移受压柱外刚度计算公式为：