土木工程制图-直角投影定理

两相交直线的夹角，可以是锐角，也可以是钝角或直角。一般说来，要使一个夹角不变形地投射在某一投影面上，必须使构成此角的两边都平行于该投影面。一般情况下，空间直角的投影并不是直角；反之，两条直线的投影夹角为直角时，空间直线间的夹角不一定是直角。但是，对于相互垂直的两直线，只要有一直线平行于某投影面，则此两条直线的夹角在该投影面上的投影仍为直角。

在图3.35（a）中，AB⊥BC，且AB∥H 面，BC∥H 面，则∠abc 在H 面上仍是直角；在图3.35（b）中，当空间直角∠ABC 的一边AB∥H 面，而另一边BC 与H 面倾斜。因为AB⊥BC，AB⊥Bb，所以AB⊥平面BCcb，又知AB∥ab，所以ab⊥平面BCcb，由此证得ab 丄bc，即∠abc=90°。

图3.35　直角投影定理

将上述总结一下，得到直角投影定理：当构成直角的两条直线中，有一直线与投影面平行，则此两直线在该投影面上的投影仍然为直角；反之，如果两直线的同面投影构成直角，且两直线之一是与该投影面平行，则该两直线在空间相互垂直。要注意的是，图3.36（b）中直角∠ABC在V 面的投影∠a′b′c′≠90°。

直角投影定理既适用于相互垂直的相交两直线，又适用于相互垂直的交两直线，如图3.35（c）中A1B1 与CB 就是相互垂直交叉的两条直线。

图3.36 所表示的相交两直线AB 和BC 及相叉两直线MN 和EF，由于它们的水平投影相互垂直，并且其中AB、EF 为水平线，所以它们在空间也是相互垂直的。同样，图3.37 所示的相交两直线及相叉两直线，也是相互垂直的。

画法几何中常常用直角投影定理来解决有关垂直的问题。

图3.36　两直线其中一条边为水平线的直角投影

图3.37　两直线其中一条边为正平线的直角投影

【例3.11】确定点A 到铅垂线CD 的距离，如图3.38 所示。

【解】分析：点到直线的距离，是过点向直线作垂线的垂足来确定的。由于直线CD 是铅垂线，所以CD 的垂线AB 一定是平行于H 面，它的水平投影反映实长。

作图：如图3.38 所示。

【例3.12】求点A 到正平线CD 的距离，如图3.39 所示。(www.xing528.com)

【解】分析：从图中可知，直线CD 为正平线，通过A 点向CD 所作的垂线AB 是一般位置直线，根据直角的投影特性可知：a′b′丄c′d′。

图3.38　点到铅垂线的距离

图3.39　点到正平线的距离

作图：①过a′作投影a′b′丄c′d′，得交点b′。

②由b′向下作投影连线，交cd 上得到b；连接a 和b，得到投影ab。

③用直角三角形法，作出垂线AB 的实长ab0。

【例3.13】已知MN 为正平线如图3.40（a）所示，作等腰直角△ABC，且BC 为直角边属于MN。

图3.40　综合应用题

【解】分析：等腰直角△ABC，BC 为直角边，则AB⊥BC，AB =BC；MN 为正平线，根据直角投影定理可求出B 点的投影。根据直角三角形法求出AB 实长，BC 属于MN，在m′n′上反映BC实长求得C 点的投影。

作图：如图3.40（b）所示。

①过a′点作m′n′的垂线，交于b′点，从而得到b，连接AB 两点的投影。

②用直角三角形法求AB 实长，如图3.40（b）采用△Y—a′b′—SCAB。

③在m′n′上量取b′c′=SCAB，求出c′，由c′求得c。加深△ABC 的投影。