1.计算公式
如图3-11所示，在地基表面作用有竖向集中荷载P（kN）时，地基内任意一点M（r，z）处的竖向附加应力σz（kPa），可由法国数学家布辛奈斯克（Boussinesq）得出的弹性理论解表示。
图3-11 竖向集中荷载作用下的应力
由图3-11可知，
。于是，式（3-10）可以变形为
式中 P——作用在地基表面某点的集中荷载（kN）；
r——M点与荷载P作用点间的水平距离（m）；
z——M点与荷载P作用点间的垂直距离（m），即M点在地基中的埋深；
α1——集中荷载下的竖向附加应力系数，
集中荷载作用下的竖向附加应力系数α1的数值可依据r/z由表3-1查得。
表3-1 集中荷载下竖向附加应力系数α1
例题3-3 在地面作用一集中荷载P＝200 kN，试确定：
（1）在地基中z＝2 m的水平面上，水平距离r＝1、2、3、4 m各点的竖向附加应力σz值，并绘出分布图；
（2）在地基中r＝0的竖直线上距地面z＝0、1、2、3、4 m处各点的σz值，并绘出分布图；
（3）取σz＝20、10、4、2 kPa，反算在地基中z＝2 m的水平面上的r值和在r＝0的竖直线上的z值，并绘出相应于该4个应力值的σz等值线图。
解：（1）在地基中z＝2 m的水平面上指定点的附加应力σz的计算数据，见表3-2；σz的分布如图3-12所示。
表3-2 例题3-3表
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图3-12 例题3-3图
（2）在地基中r＝0的竖直线上，指定点的附加应力σz的计算数据见表3-3；σz的分布如图3-13所示。
表3-3 例题3-3表
图3-13 例题3-3图
（3）当指定附加应力σz时，反算z＝2 m的水平面上的r值和在r＝0的竖直线上的z值的计算数据，见表3-4；附加应力σz的等值线绘于图3-14。
表3-4 例题3-3表
图3-14 例题3-3图
由图3-14不难发现，竖向集中荷载作用下地基中的附加应力是轴对称的空间问题。于是，假设地基土层中的土颗粒大小均匀且紧密接触，可推测出某点处的基底附加应力向地基中传递规律为：
（1）呈三角形向下、扩散传播；
（2）同一竖直剖面处，深度越大，在地基中产生的附加应力越小；
（3）同一埋深处，距离基底附加应力作用线越近，地基附加应力越大；
（4）传递至一定深度处，地基附加应力逐渐趋于0。
2.应力叠加原理
由附加应力在地基土中的传播规律可知：集中力P在地基中引起的附加应力σz的分布是向下、向四周无限扩散的；当地基表面作用有几个集中力时，可以先按式（3-11）分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据弹性体应力叠加原理求出地基的附加应力的总和。
因此，在实际工程应用中，当基础底面形状不规则或荷载分布较复杂时，可借助应力叠加原理进行求解，步骤为：
（1）可将基底先划分为若干个小面积；
（2）分别求解各小面积荷载下地基中某点处的竖向附加应力；
（3）竖向附加应力叠加求和即为复杂面积或荷载下地基中某点处的竖向附加应力。
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