透镜孔径对光学影响-信息光学理论与应用

以上讨论透镜的傅里叶变换性质时，尚未考虑透镜孔径的影响。然而在许多实际工作中，透镜孔径的有限大小往往不能忽视。透镜孔径除了限制入射光束从而影响出射光通量外，还要对形成傅里叶频谱产生影响，并最终影响成像质量。这里着重研究后一种影响。不失一般性，现仅就物置于透镜前，并用相干平行光照明这一特殊情况进行讨论。作为一种估算，可认为物面与透镜之间的距离d1相对于透镜孔径不是很大，这时光波在其间的传播可视为直线传播，并忽略透镜孔径的衍射，亦即采用几何光学近似。后焦面P4上任一点P′（x′，y′）的光场应是物上所有点所发出的方向余弦的光线，经透镜会聚后叠加而成的。但由于透镜的孔径有限，物平面上只有在一个圆形区域内各点所发出的光线能够达到P′（x′，y′）点，其余光线均受到透镜边框的阻挡。

在图3.1.6中，连接P′和O两点，并延长使其与物平面P1相交于Q（x，y）点。在几何光学近似条件下，只有透镜孔径沿方向在物平面上的投影所确定的一个圆域内的上述光线，通过透镜后才能到达P′点，其余光线均被透镜的边框所限制〔见图3.1.6（a）〕。当P′点逐渐远离光轴时，物面上圆域的中心点Q也逐渐远离光轴。故当透镜口径的大小有限时，只要P′点离光轴足够远，就会出现圆域不能完全包含物平面的情况。此时能会聚于P′点的光束的截面图是物平面与圆域的重叠区域〔见图3.1.6（b）阴影部分〕。当P′点离光轴更远时，就会出现整个物平面都不能落在圆域内的情况，从几何光学近似来看，就相当于物平面上没有光线到达P′点〔见图3.1.6（c）〕。这时与沿方向传播的平面波相对应的空间频率，在频谱面上便得不到任何反映。从角谱的观点来看，与图3.1.6（c）中θ方向相对应的空间频率便为透镜L的截止频率，频谱面上不反映一切高于此截止频率的频谱。从这个意义上讲，透镜是一个低通滤波器：物的低频成分（靠近光轴的频谱值）可以通过；稍高的频率成分可以部分通过；更高的频率成分（远离光轴的频谱值）完全通不过。由此可见，由于透镜孔径的限制，后焦面上不能得到准确的物频谱，这给傅里叶变换带来误差。频率越高，误差就越大。这种现象称为渐晕效应（Vignetting Effects）。为了减小渐晕效应，透镜的孔径应尽可能大，或物体应尽可能靠近透镜。当物面紧贴透镜时（d1=0），透镜孔径产生的渐晕效应最小。这时，如果物体的尺寸小于透镜孔径，则频谱面上得到的是物透过率函数t（x，y）的傅里叶变换，由式（3.1.13）描述；如果物体的尺寸大于透镜孔径，则透镜边框限制了物面的大小，频谱面上得到的是物透过率函数t（x，y）与透镜孔径函数P（x，y）乘积的傅里叶变换，遂有

图3.1.6　透镜的孔径效应

式中，（fx，fy）是孔径函数P（x，y）的频谱函数。卷积的结果使物的频谱图像细节模糊。透镜孔径越小，模糊越严重。

上述关于透镜变换性质的讨论，都是在几何光学近轴近似条件下进行的。对于非近轴情况下的傅里叶变换，必须专门设计傅里叶变换透镜才能获得比较理想的傅里叶频谱，即使是消除了像差的理想成像系统，仍不能实现理想的傅里叶变换。

【例1】设物函数中含有从低频到高频的各种结构信息，物被直径d=2 cm的圆孔所限制。如图3.1.7所示，将它放在直径D=4 cm、焦距f=50 cm的透镜的前焦面上。今用波长λ=600 nm的单色光垂直照射该物，并测量透镜后焦面上的光强分布。问：

（1）物函数中什么频率范围内的频谱可以通过测量得到准确值？(www.xing528.com)

（2）什么频率范围内的信息被截止？

【解】（1）由于渐晕效应，仅当某一方向上的平面波分量完全地通过透镜时，在后焦面上相应会聚点测得的强度才可准确代表物相应空间频率的傅里叶谱的模的平方。由图3.1.7（a）可知其相应空间频率为

图3.1.7　渐晕效应图示

（2）当某一方向传播的平面波分量完全被透镜边框阻挡时，在后焦面上没有该空间频率成分，测得其频谱为零。由图3.1.7（b）可知，此时相应的截止空间频率为