函数的性质-信息光学理论与应用

在Dirac引入δ函数20多年后，其严格的理论才由L.施瓦茨发展起来。这里不加证明，仅列出δ函数的几个基本性质。

1.筛选特性（Sifting Property）

若函数f（x，y）在（x0，y0）点连续，则有

δ函数的这一性质使我们在分析线性系统时，几乎可以把一切函数都分解成δ函数的线性组合，而每一个这样的δ函数都产生它自己的脉冲响应。

2.可分离变量（Separable Variable）

在直角坐标系下，有

而在极坐标系下，相应的表达式为

式中，r与r0分别是相应于点（r，θ）和点（r0，θ0）的矢径，并且

同时

3.乘法性质（Multiplication）

设函数f（x，y）在（x0，y0）处连续，则有

推论：

①f(x,y)δ(x,y)=f(0,0)δ(x,y)

②δ(x,y)δ(x-x0,y-y0)=0(x0≠0,y0≠0)

③δ（x，y）δ（x，y）无定义

4.坐标缩放（Scaling）

式中，a、b为任意实常数。

推论：

故δ函数是偶函数。

5.积分形式（Integration）

式（1.2.14）表明：δ函数可以由等振幅的所有频率的正弦波（用余弦函数表示）来合成，换言之，δ函数可以分解成包含所有频率的等振幅的无数正弦波。这一概念对于理解某些光学现象是很重要的。式（1.2.14）和式（1.2.15）的证明留待本章习题中进行。

*6.微分形式（Differentiation）(www.xing528.com)

引入符号δ（1）（x）=，则有

式中，f（x）有界且在x=0处可微。

为了证明式（1.2.16a）和式（1.2.16b），可以采用δ函数的序列表达形式，例如，令

容易证明该函数序列满足δ函数的定义式（1.2.2）：

并由积分公式^[1]，有

令ξ=Nx，则有

现在对式（1.2.17）取导数，有

并注意到（x）为奇函数，式（1.2.16b）便得证。

对于式（1.2.16d），进一步，令δ（m）（x）=，则对δ（x）的m阶导数有

式中，f（x）有界且在x=0处至少可微m次。

现在对式（1.2.18b）证明如下。

首先，仿照式（1.2.2）将δ函数定义为普通函数序列的极限，即令δ（x）=，且gN（x）至少可微m次，并定义

因为式（1.2.18b）中f（x）有界且在x=0处至少可求导m次，于是按照分部积分法，有

由gN（x）与f（x）的性态可知

故

依此类推可得

重复上述过程，最后有

为了证明式（1.2.18c），取检验函数φ（x），可以写出

再由式（1.2.18b），上式可化为

得证。