汽车振动基础：随机振动的数字特征

随机过程可以从两个不同的角度描述。首先,由于随机过程是样本函数的集合,因此可以通过逐个描述每个样本函数得到随机过程的性质,这种描述称为时域描述。因为时域描述是对样本函数进行统计平均,所以又称之为样本平均。其次,由于随机过程是随机变量系,因此可以用描述随机变量的方法来描述随机过程。又因为描述随机变量要涉及整个样本函数集,故该种描述又称为集合平均。

可以用n维概率分布函数或n维概率密度函数在时域或由集合描述随机过程,即可以采用随机过程的样本函数和随机变量系的概率分布函数或概率密度函数两种方法来描述随机过程统计量。但对现实中的许多随机振动问题,确定随机过程的概率分布函数或概率密度函数是很困难的。因此,在研究实际的随机振动问题时多采用数字特征来描述随机过程。工程中常用的描述随机振动的数字特征主要如下。

1)均值

均值也即数学期望。设X(t)是一个随机过程,在给定的时刻t1,X(t1)是随机变量,它的均值一般与给定的时刻t1有关,即

式中:μx(t1)为随机变量X(t)的所有样本在t1时刻取值的集合平均;p(x,t1)为随机变量X(t1)的一维概率密度函数。

X(t1)的均值也就是X(t1)的数学期望,也可以表示为

由于被积函数是x的一次方与概率密度函数的乘积,故均值是随机变量的一次矩。对于在相同条件下得到的一系列样本函数xr(t),它们是等概率的。此时,均值可以写成

对随机过程X(t)的任一个样本函数xr(t),其在时域内的平均值可以表示为

随机振动的均值说明了随机信号的平均位置,反映了信号的静态分量。

2)方差

随机振动的方差定义为

式中:σx(t1)为随机过程X(t)的标准差,表示X(t)在t1时刻对均值μx(t1)的偏离程度。

由于被积函数是x减去均值后的二次方与概率密度函数的乘积,故方差是随机变量的二阶中心矩。同样,对于等概率的样本函数,其方差可以表示为

同样,均方差可以定义为

由于被积函数是x的二次方与概率密度函数的乘积,故均方值是随机变量的二阶原点矩。随机过程的均方值往往与能量有关,均方值、方差和均值之间满足如下的关系式:

对随机过程X(t)的任一样本函数xr(t),其时域方差可以表示为(www.xing528.com)

同样,其时域均方值可以表示为

φxr、σxr和μxr之间的关系式为

随机振动的方差描述了信号在均值附近的波动程度,反映了信号的动态部分。

3)自相关函数和互相关函数

均值和方差描述的均是随机过程单一时刻的数字特征,要想描述两个不同时刻(即随机过程两个不同状态)之间的联系则需要引入相关函数的概念。设随机过程X(t)在任意两个时刻t1、t2的随机矢量为X(t1)和X(t2),p(x1,x2;t1,t2)是这两个随机矢量之间的二维概率密度函数,则定义

为随机过程X(t)的自相关函数。它描述的是随机过程X(t)两个不同时刻之间的线性依赖关系。对于具有相同二维概率密度函数的样本函数,自相关函数可以表示为

同样,也可在时域内定义相关函数,即

它表示样本函数xr(t)与其延时τ得到的xr(t+τ)之间波形的相似程度。

对两个随机过程X(t)、Y(t),设X(t1)是X(t)在时刻t1的随机矢量,Y(t2)是Y(t)在时刻t2的随机矢量,定义

为X(t)、Y(t)的互相关函数。这里p(x,y;t1,t2)是X(t1)、Y(t2)的二维概率密度函数。

同样,可以定义

式中:p(y,x;t1,t2)是Y(t1)、X(t2)的二维概率密度函数。

一般来说,由于p(x,y;t1,t2)≠p(y,x;t1,t2),因此Rxy(t1,t2)≠Ryx(t1,t2)。互相关函数Rxy(t1,t2)、Ryx(t1,t2)描述了两个随机过程之间的依赖关系。两个随机过程X(t)、Y(t)在时域内的互相关函数定义为

它表示xr(t)与ys(t+τ)之间波形的相似程度。