【摘要】：正项级数各项均为非负的级数称为正项级数.1.比较审敛法定理5.2设都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…
正项级数 各项均为非负的级数称为正项级数.
1.比较审敛法
定理5.2 设
都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…）.若级数
收敛，则级数
一定收敛；反之，若级数
发散，则级数
一定发散.
例5.4 讨论p-级数
的收敛性，其中常数p＞0.
解 设p≤1，则
，因为调和级数
发散，由正项级数的比较审敛法可知，当p≤1时级数
发散.
设p＞1，当n-1≤x≤n时，有
，
先讨论级数
的收敛性，因其部分和
由收敛级数的性质可知级数
收敛.
根据比较审敛法得出，当p＞1时，级数
收敛.
所以，p-级数的收敛性为，当p＞1时收敛，当p≤1时发散.(www.xing528.com)
例5.5 证明级数
是发散的.
证 由于
，而级数
…是发散的，根据比较审敛法可知级数
也发散.
2.比值审敛法
定理5.3 对于正项级数
，如果
.则当ρ＜1时，级数收敛；当ρ＞
时，级数发散；当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散.
例5.6 判别级数
的收敛性.
必须注意的是：比值审敛法判断过程中，如果ρ=1，则此法失效.
例5.7 判别级数
的收敛性.
分析 
，这时ρ=1，比值审敛法失效.必须用其他方法来判别级数的收敛性.
解 由于
，而级数
收敛（是ρ=2＞1的p级数）.根据比较审敛法可知，级数
收敛.
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