考研数学分析：正项级数敛散性判定

常用的方法：

1）收敛原理，即正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界；

2）比较法.在使用比较法判定级数敛散性时，首先要对级数的敛散性有个精确地估计，然后通过不等式的放大或缩小找到合适的比较级数；

3）根式判别法；

4）比式判别法.

根式判别法和比式判别法都是比较法的具体化，它们是以几何级数作为比较级数而建立的.另外，凡是能用比式判别法判别的级数一定能用根式判别法判别，但反之不行！换言之，就是根式判别法比比式判别法有更广的适用范围.

除了上述大家熟悉的判别法外，下面我们再介绍几个判别法.

5）拉贝（Raabe）判别法.

对正项级数，记，则γ>1时，级数收敛；当γ<1时，级数发散.

6）高斯（Gauss）判别法.

对正项级数，若，则当λ>1或λ=1而μ>1时，级数收敛；当λ<1或λ=1而μ≤1时，级数发散.

7）柯西判别法.(www.xing528.com)

若{a_n}为递减正数列，则与同敛散.

8）对数判别法.

对正项级数，若∃α>0及自然数N，当n>N时，有

则级数收敛；

若存在自然数N，使当n>N时，

则级数发散.

9）柯西积分判别法.

设f（x）在[1，+∞）上非负且递减，则与同敛散.

需要特别说明的是：拉贝判别法和对数判别法都是以p级数作为比较级数而建立的，而高斯判别法则是以比p级数收敛得更慢的级数作为比较级数而建立的.从比式判别法（或根式判别法）到拉贝判别法（或对数判别法）再到高斯判别法虽然适用范围一个比一个更广泛，但由于我们找不到（事实上也不存在）一个收敛最慢的级数作为比较级数，因此也就无法建立适用于一切正项级数的判别法.

另外，我们还会经常用到如下的

斯特林（Stirling）公式：n！.