概率统计中指数分布下的顺序统计量抽样分布和统计推断

在研究产品的可靠性时，需要研究产品寿命X 的各种特征。产品寿命X 是一个随机变量，它的分布称为寿命分布。为了对寿命分布进行统计推断，就需要通过产品的寿命试验，以取得寿命数据。寿命数据通常有完全样本与截尾样本两类。按截尾方式，截尾样本可分为定数截尾样本和定时截尾样本；按有无替换，截尾样本又可分为有替换截尾样本和无替换截尾样本。所以，截尾样本共有四种：无替换定数截尾样本、有替换定数截尾样本、无替换定时截尾样本、有替换定时截尾样本。

1.完全样本与截尾样本

一种典型的寿命试验是，将随机抽取的n 个产品在时间x= 0时，同时投入试验，直到每个产品都失效。记录每一个产品的失效时间，得到所有产品的失效时间0≤ x1 ≤ x2≤ …≤xn，这个样本称为完全顺序样本。然而，产品的寿命往往较长，由于时间和财力的限制，我们难以得到完全顺序样本，于是就考虑截尾寿命试验。

按截尾方式，截尾寿命试验常用的可分为两种：一种是定数截尾寿命试验。假设将随机抽取的n 个产品在时间x= 0时同时投入试验，进行到有r 个（r 是事先给定的，r ＜ n）产品失效时停止。r 个失效产品的失效时间分别为：0≤ x1 ≤ x2≤ …≤xn，这个样本称为定数截尾样本。另一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的n 个产品在时间x= 0时同时投入试验，进行到事先规定的截尾时间 x0 停止。如果试验停止时共有r 个产品失效，它们的失效时间分别为：0≤ x1 ≤ x2≤ …≤ xr ≤x0，这个样本称为定时截尾样本，这里r 是一个随机变量。定数截尾样本和定时截尾样本都是不完全顺序样本。

按有无替换，截尾样本又可分为有替换截尾样本和无替换截尾样本。在试验过程中，每当一个元件失效时，立即用一个同型号的完好的元件替换上继续试验，任意时刻正在投入试验的元件数保持为n 不变，这种试验称为有替换的试验，所得样本称为有替换截尾样本；与此相反，有的元件失效后，不再补充，直到按规定停止试验，这种试验称为无替换试验，所得样本称为无替换截尾样本。

所以，按试验的截尾方式及有无替换，寿命试验可分四种类型：无替换定数截尾试验、有替换定数截尾试验、无替换定时截尾试验、有替换定时截尾试验，相应的样本也可分四种类型：无替换定数截尾样本、有替换定数截尾样本、无替换定时截尾样本、有替换定时截尾样本。

以下区分完全顺序样本和截尾样本，分别讨论指数分布总体的抽样分布与统计推断。特别是，关于指数分布总体的截尾样本的抽样分布与统计推断是可靠性研究中常见的重要问题。(www.xing528.com)

2.指数分布总体下完全顺序样本的抽样分布与统计推断

3.指数分布总体下无替换定数或定时截尾顺序样本的统计量的抽样分布

将任意总体的各种顺序统计量的抽样分布结果应用于指数分布总体，得到指数分布总体的无替换定数或定时截尾顺序样本、样本总和T（即为试验总时间）的抽样分布，并进行相应统计推断，得到如下定理。

4.指数分布总体下有替换定数或定时截尾顺序样本的统计量的抽样分布

将任意总体的各种顺序统计量的抽样分布结果应用于指数分布总体，得到指数分布总体的有替换定数或定时截尾顺序样本、样本总和T（即为试验总时间）的抽样分布，并进行相应统计推断，得到如下定理。