高等数学：微分运算法则和公式

已知可微与可导是等价的.因此，微分只是导数的另一种形式.由导数的运算法则和导数公式可相应地得到微分运算法则和微分公式.

如果函数u（x）与v（x）可微，则

⑤复合函数的微分：

设有复合函数y=f（u），u=g（x）.于是，按复合函数的求导法则，此时

所以按微分定义，有

dy=f′（g（x））·g′（x）dx

实际上，式中f′（g（x））=f′（u），g′（x）dx=du，所以又可写成

dy=f′（u）du

把dy=f′（u）du与dy=f′（x）dx相比较，虽然x是自变量，而u是中间变量，但两者在形式上是一样的.这一性质称作一阶微分的形式不变性.

在导数公式表中，将每个公式都乘上自变量的微分dx，就相应地得到微分公式表：

例2.22 设y=cos（x2+1），求dy.

解 dy=-sin（x2+1）·2xdx=-2xsin（x2+1）dx

或者由微分的一阶形式不变性得

dy=-sin（x2+1）d（x2+1）=-2xsin（x2+1）dx

利用微分的一阶形式不变性，还可以方便地计算函数的导数.(www.xing528.com)

例2.23 设y=y（x）是由方程

x3+y3-3xy=0

确定的函数，求y′.

解 原方程两端同时取微分得

dx3+dy3-d（3xy）=0

3x2dx+3y2dy-3（ydx+xdy）=0

即

（y2-x）dy+（x2-y）dx=0

故

例2.24 设求dy.

解

然后在sin2x中视2x为u，即有

dsinu=cosudu=cos2xd（2x）=2cos2xdx

从而