微分运算的基本公式及微分法则

1.微分基本公式

利用微分与导数之间的关系和导数基本公式可以得出微分基本公式.

2.微分法则

3.一阶微分形式不变性

设y=f（u），若u是自变量，则

dy=f′（u）du

若u=φ（x）是中间变量，则

dy=f′[φ（x）]φ′（x）dx=f′（u）du

因此，不论u是自变量还是中间变量，都有

dy=f′（u）du

例1y=e^-axsinbx，求dy.

解 方法一因为

y′=-ae^-axsinbx+be^-axcosbx

所以

dy=（-ae^-axsinbx+be^-axcosbx）dx

方法二dy=d（e^-axsinbx）=sinbxde^-ax+e^-axd（sinbx）

=sinbxe^-axd（-ax）+e^-axcosbxd（bx）

=-asinbxe^-axdx+be^-axcosbxdx

例2 已知y=1+xe^y，求y′，dy.

解 方法一因为

y′=e^y+xe^y·y′(https://www.xing528.com)

所以

方法二因为

dy=d（1+xe^y）=e^ydx+xe^ydy

所以 （1-xe^y）dy=e^ydx

即

4.近似计算

实际中经常会遇到一些函数表达式较复杂的运算，但是结果又不要求十分精确，在这种情况下，可考虑使用微分来近似计算.

设函数y=f（x）在点x₀可导，Δx比较小，而f（x₀），f′（x₀）又容易求，则

公式一：Δy≈dy=f′（x₀）Δx；

公式二：f（x₀+Δx）≈f（x₀）+f′（x₀）Δx.

例3 求sin30°30′的近似值.

解 由

f（x₀+Δx）≈f（x₀）+f′（x₀）Δx

取f（x）=sinx，，，则有

例4 求的近似值.

解 由

f（x₀+Δx）≈f（x₀）+f′（x₀）Δx

取，x₀=36，Δx=1，则有

利用f（x）≈f（0）+f′（0）x，且x很小，可以证明以下几个常见的近似计算公式：