高等数学向量及线性运算

1.向量的概念

在力学、物理学以及其他工程技术中所遇到的量,如质量、面积、体积、温度及时间等,这一类只有大小的量称为数量.除此还有一些既有大小又有方向的量,如位移、速度、加速度、力及力矩等,这一类量称为向量(也称矢量).

图7.5

与向量a 大小相等、方向相反的向量,称为负向量,记为-a.

两个向量a 和b 的大小相等、方向相同,称为向量a 和b 相等,记a=b.

与起点无关的向量,称为自由向量.本书所讨论的向量均为自由向量.

如果两个向量a 和b 的方向相同或相反,称为两个向量平行,记作a/ /b .

图7.6

图7.7

定义7.2　设向量a 与b,向量a 与-b 之和,称为向量a 与b 之差.记作

向量加法满足的运算规律(见图7.8、图7.9):(https://www.xing528.com)

(1)交换律:a+b=b+a;

(2)结合律:(a+b) +c=a+(b+c).

图7.8

图7.9

定义7.3　设a 为一非零向量,λ∈R,向量a 与λ 的乘积记作λa,则λa 是一个向量,规定:

λa 的方向:当λ ＞0 时与a 相同,当λ ＜0 时与a 相反;当λ=0 时是零向量,方向任意.

向量与数的乘积满足下列运算规律:

(1)结合律:λ(μa) =μ(λa) =(λμ)a;

(2)分配律: (λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b) =λa+λb.

设非零向量a,与向量a 同向的单位向量记为a0,有

即任一非零向量a,都可表示为