隐函数求导法-高数上

凡是能够由方程F（x，y）=0确定的函数关系，称为隐函数.

对于隐函数求导，可以将其化为显函数，再对其进行求导.但是，有的隐函数要将其化为显函数是比较困难的，有的甚至写不出其显函数的具体表达式.因此，要直接寻求对隐函数进行求导的方法.

下面对隐函数求导，都是假定其隐函数是存在并且可导的（即存在性，可导性这里不加讨论，将在下册的隐函数存在定理中加以讨论）.这里只是寻求其求导方法.隐函数的求导，实质是复合函数的求导.

例2.25 求隐函数的导数

解 将y看作x的函数，应用复合函数求导法则，有

例2.26 求隐函数xy=yx的导数

解 对方程xy=yx两边取对数，有

ylnx=xlny

两边将y看作x的函数，应用复合函数求导法则，有

例2.27 求隐函数ey-e-x+xy=0的导数

解 将y看作x的函数，应用复合函数求导法则，有

例2.28 证明：抛物线上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于a.(www.xing528.com)

证明 在抛物线上任取一点（x0，y0），则有

由隐函数求导法则，有

于是，抛物线在点（x0，y0）的切线斜率则在点（x0，y0）处的切线方程是

它在x轴与y轴上的截距分别是则两截距之和是

例2.29 求垂直于直线2x+4y-3=0，并与双曲线相切的直线方程.

解 已知直线2x+4y-3=0的斜率是于是，所求的垂直于直线2x+4y-3=0并与双曲线相切的直线的斜率是2.

由隐函数求导法则，有

于是，双曲线上一点（x，y）的切线斜率=2或7x=4y.

因为点（x，y）在双曲线=1上，又满足等式7x=4y，所以点（x，y）的坐标x与y满足方程组：

解得（4，7）与（-4，-7），即双曲线上点（4，7）与（-4，-7）的切线斜率为2，则所求的直线方程是

y-7=2（x-4）与y+7=2（x+4）