高数上：连续函数性质与运算

关于连续函数的运算法则，由函数极限的运算法则很容易得到：

定理1.12 若f（x）、g（x）都在x0点连续，则

也在点x0连续，但对商的情形，必须有g（x0）≠0.

（1）反函数的连续性定理

定理1.13 设f（x）在a≤x≤b严格单调增加（减少），并且在每点连续.又设f（a）=α，f（b）=β，则在区间α≤y≤β上存在着y=f（x）的反函数x=φ（y），它在这区间上也是严格单调增加（减少）和连续的.

关于反函数的连续性定理，其证明会用到数学分析中关于实数连续性的几个基本定理，有兴趣的同学可参考复旦大学数学分析中极限续论的知识.

（2）复合函数的连续性定理

定理1.14 若μ=g（x）在点x0连续，g（x0）=μ0，而y=f（μ）在点μ0连续，那么复合函数y=f（g（x））在点x0连续.

证明 已知y=f（μ）在点μ0=g（x0）连续，由函数在一点连续的定义，∀ε＞0，∃η＞0，当，有

而μ=g（x），μ0=g（x0），上式可改写为

又μ=g（x）在点x0连续，则对于上述η＞0，∃δ＞0，当有

即故∀ε＞0，∃δ＞0，当有

所以复合函数y=f（g（x））在点x0连续.

即

可见一复合函数，若里层函数在一点连续，外层函数在其函数值点上连续，则外层函数符号与极限符号可交换次序.对于复合函数的连续性定理，对其条件作适当的减弱.类似地证明，可以得到外层函数符号与极限符号可交换次序的结论.(www.xing528.com)

推论1.7 若里层函数极限存在，外层函数在其极限值点连续，则外层函数符号与极限符号就可交换次序.即而f（μ）在a点连续，则有

这个推论在涉及极限的证明和计算中经常会用到，起着十分重要的作用.

上面是关于连续函数的运算，那么连续函数的性质呢？

连续函数的性质和函数极限的性质是类似的，例如函数在一点连续，在这一点的某个邻域上，函数同样存在着局部有界性、保号性，其证明也是类似的.

例1.54 若f（x）连续和f2（x）是否也连续？又若或f2（x）连续，f（x）是否也连续？

解 若f（x）连续，即∀x0，f（x）在x0处连续，有

则∀ε＞0，∃δ＞0，∀有

由函数在一点连续的定义在x0处连续.由x0点的任意性，所以连续.

又f2（x）=f（x）·f（x），f（x）连续，由连续函数的运算法则，f2（x）连续.若连续，f2（x）连续，则f（x）不一定连续，例如

例1.55 若f（x），g（x）都在［a，b］上连续，证明：

max（f（x），g（x））及min（f（x），g（x））

都在［a，b］上连续.

证明 简单地验算即可知

由例1.54以及连续函数的运算法则，得证.