高数上：闭区间连续函数性质

函数的连续性只是一个局部的概念，函数在一点连续，它只是刻画了函数在这一点邻近区域的局部性质.一般来说，函数在区间上的性质是难以把握的，但如果函数在一个闭区间上连续，由于其连绵不断，可以想见，其函数值一定是一个闭区间集合.从而从几何直观上就可以看到，闭区间上的连续函数具有一些很好的性质.但要从理论上严格证明它们，需要极限续论的相关知识，有兴趣的同学可参看数学分析教材.

（1）最大值与最小值定理

定义1.20 设f（x）为定义在数集D上的函数，若存在x0∈D，使得对一切x∈D都有f（x0）≥f（x）（f（x0）≤f（x）），则称f（x）在D上有最大（小）值，并称f（x0）为f（x）在D上的最大（小）值.

例如，函数f（x）=3+cosx在[0，π] 上有最大值f（0）=4，最小值f（π）=2.

性质1.8（最大、最小值定理） 若f（x）在闭区间［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上有最大值与最小值.

从图1.25就可看到，在一段连续的曲线上，必有一个最高点，也有一个最低点.这个最高点的横坐标为该函数的最大值点，纵坐标为该函数的最大值；这个最低点的横坐标为该函数的最小值点，纵坐标为该函数的最小值.

注意：区间若不是闭区间，性质不一定成立；区间内若有间断点，性质不一定成立.

如在［0，2］有间断点x=1，该函数在［0，2］上无最值，如图1.26所示.

图1.25

图1.26

（2）有界性定理

性质1.9（有界性定理） 若f（x）在闭区间［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上有界.

证明 已知f（x）在闭区间［a，b］上连续，由最大、最小值定理，函数f（x）在闭区间［a，b］上存在最大、最小值，即存在M，m，使得∀∈［a，b］，有

m≤f（x）≤M

所以函数f（x）在［a，b］上有界.

（3）零点存在定理

定义1.21 若x0使得f（x0）=0，称x0为函数f（x）的零点.

性质1.10（零点存在定理）若f（x）在闭区间［a，b］上连续，且两端点函数值f（a）与f（b）异号，即f（a）f（b）＜0，则在（a，b）上至少存在f（x）的一个零点.

几何意义 若连续曲线弧两端点分别在x轴两侧，则连续曲线弧与x轴至少有一个交点，如图1.27所示.

（4）介值定理

性质1.11（介值定理） 若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，f（a）≠f（b），则对于任何介于f（a）与f（b）之间的值c，存在ξ∈（a，b），使得f（ξ）=c.

换句话说，连续函数可以取得介于两个端点值之间的任意值.

证明 不妨设f（a）＜f（b），令φ（x）=f（x）-c.已知f（x）在闭区间［a，b］上连续，则φ（x）在闭区间［a，b］上连续.又f（a）＜c＜f（b），有

φ（a）=f（a）-c＜0，φ（b）=f（b）-c＞0

由零点存在定理，得存在ξ∈（a，b），使得φ（ξ）=0，即f（ξ）=c.

几何意义 若连续曲线弧两端点纵坐标不相等，则在两端点之间的水平直线与连续曲线弧至少有一个交点，如图1.28所示.

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图1.27

图1.28

推论1.8 若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，M与m分别为f（x）在［a，b］上的最大值与最小值，且M＞m，则对于任意满足m＜c＜M的常数c，存在η∈［a，b］，使f（η）=c.

即闭区间上的连续函数可以取得介于最大值和最小值之间的任意值.

例1.66 证明方程2x3-3x2+2x-3=0在区间（1，2）至少存在一个实根.

证明 令f（x）=2x3-3x2+2x-3，f（x）的定义域为（-∞，+∞），所以在（-∞，+∞）内连续，当然在闭区间 [1，]2上连续；而f（1）=-2＜0，f（2）=5＞0.所以由根的存在定理知f（x）=2x3-3x2+2x-3=0在区间（1，2）至少存在一个实根.

但在实际问题中，方程根的存在范围往往是不知道的，而需要根据方程本身的结构来确定方程根的存在范围.

例1.67 估计方程x3-6x+2=0的根的位置.

解 令f（x）=x3-6x+2，显然f（x）的定义域为（-∞，+∞），所以在（-∞，+∞）内连续.由于f（-3）=-7＜0，f（-2）=6＞0，f（-1）=7＞0，f（0）=2＞0，f（1）=-3＜0，f（3）=11＞0，所以由根的存在定理知方程f（x）=x3-6x+2=0分别在（-3，-2），（0，1），（1，3）内至少各有一个实根.另一方面，f（x）为三次多项式，至多有三个实根，所以方程f（x）=x3-6x+2=0恰有三个实根，分别在（-3，-2），（0，1），（1，3）内.

例1.68 设f（x）在闭区间［a，b］上连续，并且a≤f（x）≤b，证明在［a，b］上至少存在一点ξ∈［a，b］，使得f（ξ）=ξ.

证明 令F（x）=f（x）-x.

已知f（x）在闭区间［a，b］上连续，故F（x）在［a，b］上连续，有

F（a）=f（a）-a≥0，F（b）=f（b）-b≤0.

若F（a）=0或者F（b）=0，即f（a）=a或者f（b）=b，得证.

若F（a）＞0且F（b）＜0，则由根的存在定理知，存在ξ∈（a，b），使得

F（ξ）=0即f（ξ）=ξ.

例1.69 若f（x）在［a，+∞）上连续，且证明：f（x）在［a，+∞）上有界.

证明 由对于ε=1，∃X＞0，当x＞X时，有

即

又f（x）在［a，+∞）上连续，所以f（x）在 [a，]X 上连续.

由闭区间上连续函数的有界性定理：∃M＞0，∀x∈ [a，]X，有

取，有