高数上不定积分的几何意义

图4.1

由导数的几何意义可知：F′（x）=f（x）在几何上表示曲线y=F（x）在x处的切线斜率.因此，已知f（x）求原函数的问题，就是寻求在横坐标为x处切线斜率为f（x）的曲线，这样的曲线有无穷多条，而y=F（x）是其中之一.将它沿y轴上、下平移可得其余的曲线，其方程为y=F（x）+C（C为任意常数），其中每一条曲线称为f（x）的积分曲线，积分曲线全体称为f（x）的积分曲线簇.因此，f（x）的不定积分∫f（x）dx在几何上表示f（x）的积分曲线簇，其方程为y=F（x）+C，如图4.1所示.

由［F（x）+C］′=f（x）知在横坐标相同的点处，所有积分曲线的切线互相平行.

在一些具体问题中，常常需要求出满足一定条件的某条特殊的积分曲线（也就是原函数），为此，就要确定积分常数C.

例4.5 某物体以初速度为0的速度v=at（a＞0是常数）做匀加速运动，且已知在时刻t=t0时s=s0，求该物体运动规律.

解 因为，即s（t）是at的原函数，故

这个运动规律概括了物体以初速度为0的速度v=at运动的规律，现在需要在其中找出满足条件t=t0时s=s0的那个函数，为此，将条件t=t0时s=s0代入上式，得

上式即为所要求的运动规律.(www.xing528.com)

例4.6 某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本y的变化率（即边际成本）是日产量x的函数已知固定成本为1000元，求总成本y与日产量x的关系.

解 因为故

图4.2

又已知固定成本为1000元，即当x=0时y=1000，代入上式得C=1000.所以总成本y与日产量x的关系为（x≥0）.

例4.7 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.

解 设所求曲线方程为y=f（x），按题设，得，即y=f（x）是2x的原函数，如图4.2所示.

所求曲线是y=x2+C中一条，又曲线通过点（1，2），故2=1+C，C=1，所求曲线为y=x2+1.