关联和非关联流动法则的数学分析

4.2.1 引言

目前土体的弹塑性本构模型中，主要是采用关联和非关联的流动法则来建立，但遗憾的是何时采用关联流动法则，何时采用非关联流动法则并无合适的标准去进行判别，是否这两种流动法则就可以概括了所有材料的本构特性，这些都需要一个合适的准则去进行判别。再者，即使对目前应用较多的关联或非关联流动法则也存在不同的观点，有人认为非关联流动法则更符合实际[92]，但由于非关联流动法则缺乏像关联流动法则那样的理论基础，如文献[10]则认为非关联流动法则是一个不合理的概念，应予放弃，文献[120]认为非关联流动法则是对现代塑性力学的基础——Drucker公设的挑战，文献[29]则把非关联特性与弹塑性耦合联系起来，认为应变增量中的不可逆部分可分为塑性部分和弹塑性耦合引起部分，所定义的塑性部分只是与屈服面正交并满足塑性公设的那一部分，而另一部分则为与屈服面是非正交的耦合部分，显然这涉及到塑性应变的定义问题，若定义塑性应变仅是满足正交流动法则的那一部分，则这样的塑性应变自然是满足关联流动法则及塑性公设的，若定义塑性应变包括所有的不可逆应变，则就存在非关联的问题。针对目前的观点，我们应首先要明确非关联是否有存在的必要，或关联流动法则是否是唯一合理的理论，除此之外是否还存在或需要其他的理论，结论是肯定的，问题是除关联流动法则以外，其他理论是否都符合塑性公设，或在什么条件下满足塑性公设，或是否一定要满足塑性公设，这些问题是需要作进一步的剖析的。

4.2.2 关联流动法则并不能表述所有材料的本构关系

在主空间上，如上所述，一般的增量塑性本构关系可表示为：

由以上的研究表明，经典的塑性位势理论只能表述[A]的秩为1且塑性应变增量矢量为有势场的情况，当[A]的秩为1时，则[A]只有一个基矢量，且[A]又可以分解为：

设在主应力空间中存在一势函数g，使

由式（4.2.3）、式（4.2.2）代回式（4.2.1）则得：

令dλ={βi}T{dσi}，代入上式则得：

式（4.2.5）即为传统塑性位势理论在主空间中的形式，设主空间中塑性应变满足塑性状态方程[112]：

微分上式得：

把式（4.2.5）代入上式可求得：

把dλ代入式（4.2.5）可得：

比较式（4.2.9）和式（4.2.4）可见，此时应有：

数学上，g和f两个势函数的法线方向的关系的不同，即得到所谓的关联和非关联的问题，而g的法线方向则表示了塑性应变增量方向，当g与f的法线方向重合时，也即g=f，则表示的是通常的关联流动法则模型，由式（4.2.9）可见，其表示的本构关系为[A]是对称矩阵的情况，当g与f的法线方向不同时，即g≠f，则是通常所谓的非关联流动法则的模型，其表示的本构关系矩阵[A]是非对称的，而材料的塑性矩阵[A]是否为对称是决定于材料本身的，不能人为规定，人们所能做的只是用合理的模型去更好地模拟或表述材料的力学特性而不能随意地去改变客观事实，即使g≠f时，g或f与[A]矩阵的各元素均有如下关系：其表示的是两个正交关系，非关联模型要表述已知的本构关系，除g可由塑性应变的增量方向或由式（4.2.11）通过正交关系去确定外，f同样也应要满足式（4.2.12）的正交关系，而目前的一些非关联模型中，仅是检验了g的正交性，也即对g是根据正交性来确定的，对f的正交性则较少进行检验，也即f不是根据式（4.2.1）中[A]的性质来确定的，其不一定满足式（4.2.12）的条件，这实际上是不合理的。

由以上的数学分析可见，传统理论中的关联流动法则模型所能表述的本构关系是有其局限性的，那就是塑性矩阵[A]的秩为1，且为对称矩阵的情况，当[A]不对称时，则要用非关联流动模型来表述，而当[A]的秩不是1时，则传统的关联或非关联流动模型都是不能表述的，此时就有必要去发展更一般的本构理论，以上第三章提出的多重势面理论、张量定律等提供了这样的理论，其可表述[A]为一般的情况。

4.2.3 Drucker公设与本构关系

众所周知，当假定塑性应变增量方向具有唯一性时，由塑性力学的Drucker公设可证得塑性应变增量方向正交于屈服面F，即得到的结果是屈服面F与塑性势函数g重合，即成立关联流动法则，但得不到非关联流动法则，由此而产生了对非关联流动法则合理性问题的各种观点，但若从模型只是用于表述试验结果的这一种数学方法的角度出发，则非关联流动法则是有其存在的必要的，因为当实际的材料本构关系存在[A]的秩为1而又是非对称时，这种材料的本构关系就需要用非关联流动法则去表示，从数学表示的角度，非关联流动法则是必要的，况且由于土的本构性质还与受力情况有关[94]，[A]为非对称的情况是较多的。如果仅有从Drucker公设出发所得到的关联流动理论，则显然是不能满足实际需要的，而材料是关联流动或非关联流动从数学上取决于矩阵[A]的性质。同时，材料是否满足Drucker公设，也与[A]的性质有关。因此，[A]的数学特性是选择合理模型的条件。

增量情况下Drucker公设可表示为：

式（4.2.13）在几何上表示矢量与的夹角θ≤90°，令函数Wp为：

在主空间上，把式（4.2.1）代入上式得：

由式（4.2.15）可见，Wp可表示为{dσ}的一个二次齐式，Wp≥0表示要求Wp的Hessian矩阵是半正定的，这样，材料是否满足Drucker公设可由此来判断，例如，当[A]为对称正定时，则数学上显然可保证Wp≥0，当[A]为非对称时，可按二次齐式的形式求Wp的对称Hessian矩阵。当的方向具有唯一性时，由[A]的秩为1的数学条件可有：

式（4.2.15）中矩阵[A]是非对称矩阵，经变换后，可写成标准的二次齐式

其中成为一对称矩阵

即为Wp的Hessian矩阵，是一对称矩阵，这样，要保证Wp≥0，可用要求]为半正定的条件来研究，由得：

把式（4.2.16）的关系代入上式经整理得：

显然，要保证为半正定矩阵，则必须：

而由式（4.2.19）可见，除非a12=a21，a23=a32，否则＜0，即存在Wp＜0，因此，在[A]的秩为1而又是非对称时，必存在Wpmin＜0的情况，数学上存在不符合塑性公设的情况，也即对非关联流动法则存在不符合Drucker公设的问题，只有[A]为对称矩阵时，才能保证Wp≥0，在几何上，由于方向已具有势函数特性，以势函数g的梯度方向代替，而dσ位于屈服面F之内，当数学上要求Wp≥0时，由式（4.2.13）即要求与两方向的夹角θ小于或等于90°，即必须分别位于塑性势面g的P点切线T的两侧，如图4.2.1所示，由于的方向必须要在屈服面F之内，要满足此条件，必须该点处F的切线与T重合，才能保证Wp≥0恒成立，也即F与g具有相同的切线或法线，即F=g，此即为通常的关联流动法则。自然，当出现Wpmin＜0时，几何上表明出现了与在切线T同一侧的情况，也即P点处F与g的切线不重合，此即为非关联流动的情况，如图4.2.2所示，要保证Wp≥0，几何上就要对的方向作限制，如的方向必须要位于塑性势面g之内，而又要在F之内，这样，满足Drucker公设的必须要位于g与F的共同区域之内，如图4.2.2中阴影所示区域，即有条件满足Drucker公设。当[A]的秩不为1而其Hessian矩阵又是正定时，此时的方向不是具有唯一的，而是随的方向变化的，但总能保持着与两方向之间的夹角θ≤90°，即总能满足Drucker公设。因此，材料本构关系是否为关联、非关联或的方向是否有唯一性以及是否满足Drucker公设，都可以从[A]的数学性质上来进行判断，根据[A]的数学性质，由以上的分析结果就可选择合理的本构模型或理论用于表述已知的本构关系。如[A]为对称半正定且秩为1时，可有关联模型来表述，[A]的秩为1而又是非对称时，则应用非关联模型，当[A]的秩不为1时，则需用多重势面理论或广义塑性位势理论，当然，无论[A]的秩是否为1，也都可以用多重势面理论来表示且更为方便。

图4.2.1 关联流动时塑性势面g与屈服面F的关系

图4.2.2 非关联流动时塑性势面g与屈服面F的关系

4.2.4 塑性应变增量方向唯一性的问题(https://www.xing528.com)

传统的弹塑性理论，假定塑性应变增量方向具有唯一性，即与应力增量方向无关，这一假设金属材料的试验结果是符合的。对于岩土材料，塑性应变增量方向是否存在唯一性是个存在争议的问题，关于塑性应变增量方向的问题也已做了很多的试验，国内 窦 宜[33，34，89]，国 外 如Anandarajah（1995），Tatsouoka（1974），Hong（1980）等，有些试验认为塑性应变增量方向与应力路径无关，具有唯一性，也有人认为是与应力增量方向是有关的，从以上的理论分析也可知，从数学上要严格满足方向唯一性是较难的。如对剪缩土，由4.2.5节可知，由于AD-BC＞0，显然，dεp方向是与dσ方向有关的，即剪缩土不存在dεp方向的唯一性，对剪胀土，理论上也不能证明AD-BC=0，因此，严格的dεp方向唯一性是困难的。而较多的试验[13，87，135]则认为，在应力水平较低时，塑性应变增量方向是与应力增量方向有关的，而当应力水平较高时，则近似认为是与应力增量方向无关的，这一观点应该说是较符合实际的。Anandarajah（1995）等对密砂和中密砂土在不同应力状态下进行了各种加荷方向试验[87]，图4.2.3为加荷方向试验开始的各应力状态，图4.2.5为应力增量方向，A点、E点和F点为代表的塑性应变增量方向如图4.2.4、图4.2.6、图4.2.7所示，图中试验值为通过加卸荷确定的塑性应变，计算值为用总应变减去用弹性模量计算的弹性应变所得的塑性应变，显然，A点接近破坏状态，应力增量方向对塑性应变方向影响不很大，而E点和F点较靠近P轴，显然，塑性应变增量方向与应力增量方向关系密切。

图4.2.3 加荷方向试验开始的应力状态

图4.2.4 A点的塑性应变方向

（a）试验塑性应变方向；（b）计算塑性应变方向

图4.2.5 应力的增量方向

图4.2.6 E点的塑性应变方向

（a）试验塑性应变方向；（b）计算塑性应变方向

图4.2.7 F点的塑性应变方向

（a）试验塑性应变方向；（b）计算塑性应变方向

显然，当接近破坏状态时，dεp是主要应变，是有限的，相对于而言是小数，因而dεp方向变化不大，而当应力水平较低时，如在P轴上产生一应力增量dp=0，dq＞0，则必然产生，因而很难保证dεp方向与P轴是一致的，因此，以上的结果是符合实际的。但由于也是不可恢复的应变，按传统弹塑性理论，也是塑性应变，因而低应力水平时也是有塑性应变的。因此，传统弹塑性理论中只能用于表述塑性应变增量方向具有唯一性情况，而现实的岩土材料不用说不同的土类，即使同一种土料，在不同的应力水平下，塑性应变增量方向都有可能存在唯一性的情况（高应力水平）和不唯一性的情况（低应力水平）。因此，更好的理论应是不论塑性应变增量方向是否唯一，都应该可以表述。

若从p—q平面上分析，增量塑性应变与应力增量关系为：

则塑性应变增量方向具有唯一性的数学条件为：

显然，当

时，则即表明塑性应变增量方向与应力增量方向存在相关性，也即增量塑性应变表现出了弹性应变的特征了。

4.2.4.1 广义位势理论解决塑性应变增量方向不唯一问题的应用

（1）直接应用广义位势理论。当塑性应变增量方向不存在唯一性时，传统的弹塑性本构理论显然已不适用，因为从数学上，传统理论只能表述AD-BC=0的情况，而广义位势理论对主空间的本构关系没有约束，完全依据材料的客观试验结果通过数学拟合而得到，因此，当AC-BC＞0时同样可以适用，但采用的分解准则可能有误差，此时可以采用另方法解决。

（2）按广义位势理论定义分解准则。因此时塑性应变增量方向与增量应力方向有关，塑性应变增量方向是否还与全量应力主方向相同则影响到分解准则的合理性，为更完善，有必要对通常的应变按符合的分解准则来定义较为合理。传统所认识的弹性应变是可恢复的应变，而塑性应变则是不可恢复的应变，若按分解准则定义则可以定义为：符合同级分解准则或符合弹性分解准则的应变定义为弹性应变，而应变增量主方向与总量主方向相同的应变则定义为塑性应变，也即符合塑性分解准则的应变，而对于不可恢复但其分解准则符合弹性分解准则的应变则定义为拟弹性塑性应变，即殷宗泽[101]、沈珠江[136]等认为的拟弹性塑性应变，这样，弹性应变和拟弹性塑性应变均按弹性分解准则建模，即主空间直接数学拟合，分解准则采用弹性理论，而分解塑性应变方向具有唯一性的部分则可以采用塑性分解准则来建模，对式（4.2.20），可表示为：

拟弹性塑性应变为：

纯塑性应变为：

此时，式（4.2.26）的系数满足：

则式（4.2.26）可以直接应用广义位势理论，在后面的具体建模中可知，当式（4.2.26）系数满足式（4.2.27）关系时，本构方程会自动得到很大的简化，若B=C则模型中塑性矩阵将自动满足对称性，与关联模型结果一致，若B≠C，则模型塑性矩阵非对称，相当于传统理论中的非关联模型的结果，而式（4.2.25）的拟弹塑性应变，则采用弹性分解准则，即按弹性理论确定六维空间应力应变关系。

4.2.4.2 塑性公设在本构理论中的必要性问题

广义位势理论是从数学假设出发而建立的，并未涉及塑性公设，因此，单就应力应变关系而言，在清楚了本构理论的数学实质以后，完全可以从数学角度去建立材料的本构理论，塑性公设并不是必要的，传统塑性理论中只是通过公设建立了屈服面与塑性应增量方向的正交关系，同时论证了屈服面的外凸性，目的只是用于更方便地利用屈服函数来建立塑性本构关系，因为对于金属材料屈服函数较易确定，而对于岩土类材料，目前的实验表明塑性应变增量方向与屈服面或破坏面并不正交。另一方面，按传统塑性应变即为不可恢复的应变的概念，岩土类材料的屈服面的确定并不容易，因而曾出现过像内时理论这样的本构理论企图避开屈服面的概念。其实岩土材料尤其是土，更多的是直接从试验所得的应力应变关系直接去建立其本构模型比之套用传统的塑性理论来得更为方便，也即按广义位势理论的方法更直接和方便，不涉及所谓的塑性公设是否适用的问题，是更直接和明确的方法，因而，塑性公设并不是必须的，但可以利用，但其目的是更便于建立模型而不是使之更复杂甚至成为束缚才是科学的方法。

4.2.5 简化模型特性的分析

目前许多的岩土体本构模型是在p—q平面上建立的，此时，其主空间上的塑性本构关系的一般形式可表示为：

则由以上的分析可知，塑性应变增量方向具有唯一性的数学条件为：

在上式满足的条件下，当B=C时，则满足关联流动法则。当B≠C时，则服从非关联流动法则，此时用关联流动的模型来表示是不合理的。当A、B、C、D四个系数不满足式（4.2.29）的条件时，表示[A]的秩不为1，则无论是关联流动的模型或非关联流动的模型都是不适宜的，且若时，则该材料也是满足Drucker公设的，此时应该用多重势面理论来表述，且当用多重势面理论的模型来表达其本构关系时，则无论其是否为关联或非关联材料，都可以统一表示。

对于金属材料，A=0，B=0，C=0，满足

的条件，因而是符合关联流动法则的。

对于土体材料[10]，A总是大于零的，C总是小于零的，D硬化时大于零，软化时小于零，B剪缩时大于零，剪胀时小于零，因此，对于硬化剪缩土，A＞0，C＜0，B＞0，D＞0，则AD-BC＞0，按塑性应变增量方向具有唯一性的数条件，则此时p—q平面上的塑性应变增量方向是与加荷方向有关的，理论上传统的塑性位势理论是不能表述的，且B≠C，故弹塑性矩阵也是不对称的。对于硬化剪胀土，A＞0，C＜0，B＜0，D＞0，AD-BC=0是否满足还需要检验。对于软化剪胀土，A＞0，C＜0，B＜0，D＜0，AD＜0，BC＞0，AD-BC=0是否满足同样还需要检验。

对于符合广义虎克定律的弹性材料，其p—q平面上的增量关系为：

相当于则AD-BC=＞0，根据以上的研究成果，说明弹性应变的增量方向是不具有唯一性的，而是与加荷方向有关的，但B=C，故弹性矩阵应是对称的，这也是符合实际的。

4.2.6 小结

根据以上的分析可见，材料的本构关系的特性可以通过主空间的矩阵[A]的数学性质来判断，当[A]的秩为1且对称半正定时，则该材料的本构关系符合相关联的流动法则，当[A]的秩为1而[A]为非对称时，符合非关联的流动法则，而非关联模型中的塑性状态方程或通常的屈服函数也同样要满足一定的正交关系。当[A]的秩不为1时，理论上只能用多重势面理论来表示，若为了简化，通过假设也可近似用简单模型来表述。这就为材料本构关系选择合适的模型或理论来表述提供了理论依据。同时，材料是否满足关联或非关联条件，应当取决于材料的变形特性，而不是人为规定。因而，本构模型的理论基础应是广阔的，而不应囿于狭窄的经典理论框架中。广义位势理论的成果为解决这一问题提供了广阔的理论基础。

非关联流动材料是有条件满足Drucker公设的，关联流动材料则是无条件满足Drucker公设的，材料是否满足Drucker公设可用[A]相应的对称Hessian矩阵是否具有半正定性来判断，当其Hessian矩阵是正定或半正定时，则这种材料是完全满足Drucker公设的，否则只能是有条件满足。