非线性协整时间序列的非参数方法及其应用研究中的成果

Lee、White 与 Granger（1993）提出利用神经网络检验来检验被忽略的非线性，检验使用了由输入到输出的连接增强了的单隐层网络，输出o为：

这里ψ是一个逻辑斯蒂累积分布函数：ψ(x)＝1/[1＋exp(－x)]。

当线性的原假设为真时，即

此时，最优的网络权数为βj，记作，将得到一个“仿射的网络”。从而被忽略的非线性的神经网络检验，对于特定的q和γj，将检验假设为＝0,j＝1,2,…,q 。Lee、White与Granger（1993）提出，检验可以利用拉格朗日乘数检验，即检验：

原假设为；备择假设为。

其中且Γ≡(Γ1,Γ2,…,Γq)是先验的，q为给定的独立于随机序列{Xt}的常数。

在进行检验时，可用估计的残差来代替，这里的值通过最小二乘法来获得。检验统计量为：(www.xing528.com)

其中是的一致估计量。当H0为真且n→∞时，有。

关于上述检验思路，实际操作时比较困难，并且存在Ψt倾向于与Xt共线的问题，Lee、White与Granger（1993）建议使用等价的统计量并应用主成份法对神经元求解其主成份。

按这一思路，结合本书第7章7.3.5对加强型神经网络的讨论，检验可表述为：假设时间序列xt与其滞后项存在如下关系：

其中ut为白噪声，且ut～N(0,σ2)。在无非线性关系的原假设下，对于所有的t，有f*(xt－1,…,xt－p)＝0。在原假设下，用OLS方法对式（3-22）进行估计，可得回归残差序列为，再用加强型神经网络估计此残差序列的辅助回归方程如下：

此辅助回归方程的拉格朗日乘子（LM）得分统计量可用来检验xt无被忽略非线性关系的原假设，类似于Breitung（2001）的证明，在原假设为真时有得分检验统计量TR2～χ2(q)。考虑到神经元可能的共线性，可用这些神经元的q*个主成份代替，则TR2～χ2(q*)。

本书提出使用第7章7.3.5给出的基于改进的带动量的LM算法的BP加强型神经网络和小波神经网络进行上述被忽略的非线性检验。