乘幂法计算矩阵主特征值及特征向量，适用于大型稀疏矩阵

在许多实际问题中，往往不需要计算矩阵A 的全部特征值，而只要计算主特征值。 乘幂法是计算一个矩阵的主特征值及其相应的特征向量的一种迭代法，特别适用于大型稀疏矩阵。

设n 阶实矩阵A 有完备的特征向量系，即有n 个线性无关的特征向量。 在实际问题中常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。 设xj ＝（x1j，x2j，…，xnj）T（j ＝1，2，…，n）是矩阵的n 个线性无关的特征向量，且Axj ＝λjxj，j＝1，2，…，n，其中λj 是A 的特征值（j＝1，2，…，n）。

需要说明的是，如果v0 的选择正好使α1 ＝0，此方法计算仍然能够进行。 因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然会产生一个向量vk，它在x1 方向的分量不为0，这样以后的计算就满足所设的条件。

具体计算方法如下：

①输入矩阵A＝（aij），初始向量v0，允许的误差ε，最大迭代次数N；

②置k ＝1，μ＝0；

③求max｛vk｝，max｛vk｝⇒a；

④计算u＝v／a，v ＝Au，置max｛vk｝＝λ；(www.xing528.com)

⑥若k＜N，置k＋1⇒k，λ⇒μ，转到③；否则输出失败信息，停机。

例4.1　利用乘幂法计算以下矩阵的主特征值和相应的特征向量。

解　取v0 ＝u0 ＝（0，0，1）T，则v1 ＝Au0 ＝（2，4，1）T，且max｛v1｝＝4，即a ＝4，于是u1 ＝v1／a ＝（0.5，1，0.25）T，利用上述算法，计算过程如表4.1。

表4.1　计算结果

从上表可以看出，矩阵A 的绝对值最大的特征值为λ1 ＝11，相应的特征向量x1 ＝［0.5，1.0，0.75］T。