老吕数学要点：带余除法被除数变化

技巧总结

带余除法问题常用以下方法:

(1)特殊值法:带余除法的条件充分性判断问题,首选特殊值法.

(2)设k法:若a被b除余r,可设a=bk+r(k∈Z);若a被b除余r,则a-r能被b整除(0≤r＜b).

(3)已知a被b除余r,则a-r能被b整除,此时a-r=bk⇒a+（b-r）=b（k+1）,即被除数+(除数-余数)也能被b整除.

(4)若已知x、y被同一个数b除之后的余数分别为r1、r2,则x·y被b除之后的余数等于r1·r2被b除之后的余数.

例6　若x和y是整数,则xy+1能被3整除.

(1)当x被3除时,余数为1.

(2)当y被9除时,余数为8.

【解析】条件(1):特殊值法.令x=1,则xy+1=y+1,能否被3整除与y的值有关,y值不确定,故条件(1)不充分.

条件(2):同理可知,条件(2)不充分.

联立条件(1)和条件(2):

方法一:设k法.

由条件(1)可设x=3m+1(m∈Z),由条件(2)可设y=9n+8(n∈Z),则(www.xing528.com)

xy+1=(3m+1)(9n+8)+1=27mn+24m+9n+9=3(9mn+8m+3n+3).

因为m,n为整数,所以9mn+8m+3n+3为整数,故xy+1可被3整除,联立两个条件充分.

方法二:利用上述技巧(3)和(4).

当y被9除时,余数为8,等价于当y被3除时,余数为2,故xy被3除的余数为2,即xy+1能被3整除.

【易错点】有同学误用设k法.

由条件(1)设x=3k+1,由条件(2)设y=9k+8,这种设法误把两个未知数当作一个未知数,相当于对x=3k1+1,y=9k2+8取了特殊值k1=k2=k,但k1,k2未必相等.

【答案】(C)

例7　一个自然数,除以11时所得的商和余数是相等的,除以9时所得的商是余数的3倍,这个自然数是(　　).

(A)62　(B)84　(C)96　(D)108(E)168

【解析】根据带余除法,这个自然数可以写成

【快速得分法】可将答案代入进行判断,例如:62=11×5+7,商和余数不相等,选项(A)不对,以此类推即可.

【答案】(B)