1.实数的分类
2.整除
2.1 数的整除
设a、b是两个任意整数,b≠0,若存在整数c,使得a=bc,则称b整除a,或a能被b整除.此时,称b是a的约数(因数),称a是b的倍数.
2.2 整除的特征
(1)若一个整数的末位数字能被2(或5)整除,则这个数能被2(或5)整除;
(2)若一个整数各数位的数字之和能被3(或9)整除,则这个数能被3(或9)整除;
(3)若一个整数的末两位数字能被4(或25)整除,则这个数能被4(或25)整除;
(4)若一个整数的末三位数字能被8(或125)整除,则这个数能被8(或125)整除;
(5)任意连续的三个整数相乘,都能被6整除.
2.3 带余除法
(1)被除数÷除数=商……余数,即被除数=除数×商+余数;
(2)整除时余数为0;
(3)0≤余数＜除数.
典型例题
(C)条件(1)和条件(2)单独都不充分,但条件(1)和条件(2)联合起来充分.
(D)条件(1)充分,条件(2)也充分.
(E)条件(1)和条件(2)单独都不充分,条件(1)和条件(2)联合起来也不充分.
【解析】特殊值法.条件(2):举反例,令n=7,显然不充分.
【答案】(A)
考生注意
例1为条件充分性判断题,这种题型的特点是:
解题思路:
条件(1)能充分地推出结论吗?条件(2)能充分地推出结论吗?如果两个都不充分的话,两个条件联立能充分地推出结论吗?
选项设置:
(A)条件(1)充分,但条件(2)不充分.
(B)条件(2)充分,但条件(1)不充分.
(C)条件(1)和条件(2)单独都不充分,但条件(1)和条件(2)联合起来充分.
(D)条件(1)充分,条件(2)也充分.
(E)条件(1)和条件(2)单独都不充分,条件(1)和条件(2)联合起来也不充分.
【注意】
①条件充分性判断题为固定题型,其选项设置(A)、(B)、(C)、(D)、(E)均同此题(即此类题型的选项设置是一样的).
②各位同学在做条件充分性判断题之前,要先了解这类题型的题干结构及其选项设置,详细内容可参看本书正文第6页《管理类联考数学题型说明》.
③由于此类题型选项设置均相同,本书之后的例题将不再单独注明条件充分性判断题及选项设置,出现条件(1)和条件(2)的就是这种题型,各位同学只需将选项设置记住,即可做题.
【答案】(E)
3.奇数与偶数
3.1 定义
偶数:能被2整除的数,记为2n(n∈Z),注意:0是偶数.
奇数:不能被2整除的数,记为2n+1(n∈Z).
3.2 运算规律（奇偶性）
奇数+奇数=偶数;奇数+偶数=奇数;偶数+偶数=偶数;
奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数.
口诀:加减法中,同偶异奇;乘法中,有偶则偶(注意:正负号不改变奇偶性).
典型例题
例3设a,b为整数,给出下列四个结论:
(1)若a+5b是偶数,则a-3b是偶数;
(2)若a+5b是偶数,则a-3b是奇数;
(3)若a+5b是奇数,则a-3b是偶数;
(4)若a+5b是奇数,则a-3b是奇数.
其中结论正确的个数有( )个.
(A)0(B)1(C)2(D)3(E)4
【解析】方法一:若a+5b为偶数,由奇偶性可知,a,b同为奇数或同为偶数,故a-3b是偶数,结论(1)正确,结论(2)错误.
若a+5b为奇数,则a,b必为一奇一偶,故a-3b是奇数,结论(3)错误,结论(4)正确.
方法二:a-3b=(a+5b)-8b,其中8b一定是偶数.根据奇偶性口诀:加减法中,同偶异奇,可知若a+5b为偶数,则a-3b是偶数;若a+5b为奇数,则a-3b是奇数.
综上,结论(1)、(4)正确,结论(2)、(3)错误.
所以,结论正确的个数有2个.
【答案】(C)
例4
设a为正奇数,则a2-1必是( ).
(A)5的倍数(B)6的倍数(C)8的倍数
(D)9的倍数(E)7的倍数
【解析】由a为正奇数,可设a=2n+1(n是非负整数),则
因为n是整数,所以n与n+1之中至少有一个是偶数,即2的倍数.
故4n(n+1)必是8的倍数.
【快速得分法】特殊值法.
令a=3,则a2-1=8,故选(C).
【答案】(C)
4.质数与合数
4.1 定义
质数:只有1和它本身两个约数的正整数.
合数:除了1和它本身外,还有其他约数的正整数.
1既不是质数,也不是合数.
4.2 常见质数
20以内的质数:2(质数中唯一的偶数),3,5,7,11,13,17,19.
最大的两位数质数为97.
4.3 分解质因数
把一个合数分解为若干个质因数的乘积的形式,称为分解质因数,如12=2×2×3.
任何合数都能写成几个质数的积.
4.4 既约分数
又称最简分数,指的是分子与分母互质的分数,其中分子、分母不一定为质数.
典型例题
例5在20以内的质数中,两个质数之和还是质数的共有( )种.
(A)3(B)4(C)5(D)6(E)7
【解析】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19.
由奇偶性可知,两个奇质数相加,结果一定为偶合数,与题干矛盾,故这两个质数中必有一个偶数,而唯一的偶质数为2.
由穷举法可知,另外一个质数可能为3,5,11,17,共有4种情况.
【答案】(B)
例6 1374除以某质数,余数为9,则这个质数为( ).
(A)7(B)11(C)13(D)17(E)19
【解析】分解质因数法.
因为余数为9,所以除数必然大于9,故此质数为13.
【快速得分法】此题可用选项代入法迅速得解.
【答案】(C)(https://www.xing528.com)
例7每一个合数都可以写成k个质数的乘积,在小于100的合数中,k的最大值为( ).
(A)3(B)4(C)5(D)6(E)7
【解析】各个质数的取值越小,k的值越大.由于最小的质数是2,且26=64＜100,27=128＞100,所以小于100的合数最多可以写成6个质数的乘积.
【答案】(D)
5.约数与倍数
5.1 定义
(1)约数:a能够整除b,a就是b的约数.如2、3、4、6都能整除12,因此2、3、4、6都是12的约数,也叫因数.
(2)公约数:如果一个整数c既是整数a的约数,又是整数b的约数,那么c叫作a与b的公约数.
(3)最大公约数:a与b的所有公约数中最大的一个,叫作它们的最大公约数,记为(a,b).若(a,b)=1,则称a与b互质,但a,b不一定是质数.
(4)公倍数:如果一个整数c能被整数a整除,又能被整数b整除,则称c为a与b的公倍数.
(5)最小公倍数:a与b的所有公倍数中最小的一个,叫作它们的最小公倍数,记为[a,b].
5.2 定理
两个整数的乘积等于他们的最大公约数和最小公倍数的乘积,即ab=(a,b)·[a,b].
5.3 最大公约数和最小公倍数的求法
①使用短除法.例如,求84与96的最大公约数与最小公倍数:
故有
②使用质因数分解法,例如求84与96的最大公约数与最小公倍数:
最大公约数找各质因数的低次方:(84,96)=22×31;
最小公倍数找各质因数的高次方:[84,96]=22×31×71×81.
典型例题
例8两个正整数a和b的最大公约数是5,最小公倍数是30,如果a是10,那么b的各个数位之和是( ).
(A)3(B)4(C)5(D)6(E)7
【解析】根据约数和倍数的定理:ab=(a,b)[a,b],可得
由此解得b=15.
故b的各个数位之和为1+5=6.
【答案】(D)
例9两个正整数的最大公约数是6,最小公倍数是90,满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有( ).
(A)0对(B)1对(C)2对
(D)3对(E)无数对
【解析】定理5.2的应用+分解质因数.
设这两个数为a,b,则有
故a=90,b=6或a=30,b=18,所以满足条件的数对共有2对.
【答案】(C)
6.有理数和无理数
6.1 定义
有理数:整数、有限小数和无限循环小数,统称为有理数.
无理数:无限不循环小数叫作无理数.
6.2 运算
(1)有理数之间的加减乘除运算结果必为有理数.
(2)有理数和无理数的乘积为0或无理数.
(3)有理数与无理数的加减必为无理数.
6.3 整数部分与小数部分
一个数减去一个整数后,若所得的差大于等于0且小于1,那么此减数是这个数的整数部分,差是这个数的小数部分.
6.4 常见无理数数值
典型例题
例11已知a为无理数,(a-1)(a+2)为有理数,则下列说法正确的是( ).
(A)a2为有理数
(B)(a+1)(a+2)为无理数
(C)(a-5)2为有理数
(D)(a+5)2为有理数
(E)以上选项均不正确
【解析】根据运算法则:有理数+有理数=有理数;无理数+有理数=无理数.
由题意,可知(a-1)(a+2)=a2+a-2为有理数,故a2+a为有理数,又因为a为无理数,故a2为无理数,排除(A)项.(B)项中,(a+1)(a+2)=a2+3a+2=a2+a+2a+2,a为无理数,则2a+2为无理数,又因为a2+a为有理数,故(a+1)(a+2)为无理数,(B)项正确.同理可知,(C)、(D)两项均为无理数.
【答案】(B)
7.实数的乘方与开方
7.1 乘方运算
(2)负实数的奇数次幂为负实数;负实数的偶数次幂为正实数.
7.2 开方运算
(1)在实数范围内,负实数无偶次方根;0的偶次方根是0;正实数的偶次方根有两个,它们互为相反数,其中正的偶次方根称为算术平方根.
典型例题
例13
一个大于1的自然数的算术平方根为a,则与该自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为( ).
例14设a与b之和的倒数的2007次方等于1,a的相反数与b之和的倒数的2009次方也等于1,则a2007+b2009=( ).
(A)-1(B)2(C)1(D)0(E)22007
【解析】根据题意,可得
本节习题自测
1.已知x为正整数,且6x2-19x-7的值为质数,则这个质数为( ).
(A)2(B)7(C)11(D)13(E)17
2.A,B,C为三个不相同的小于20的质数,已知3A+2B+C=20,则A+B+C=( ).
(A)12(B)13(C)14(D)15(E)16
5.如果a,b,c是三个连续的奇数,则a+b=32.
(1)10＜a＜b＜c＜20.
(2)b和c为质数.
6.一个五位数a679b(a在万位,b在个位)能被72整除,则a,b的值为( ).
(A)3,2(B)2,3(C)3,4
(D)4,3(E)1,3
习题详解
1.(D)
【解析】由于6x2-19x-7=(3x+1)(2x-7)且6x2-19x-7为质数,故3x+1和2x-7的值必有一个为1,另一个为质数;又已知x为正整数,则3x+1＞1,故2x-7=1,解得x=4.所以6x2-19x-7=3×4+1=13.
2.(A)
【解析】分析奇偶性,因为3A+2B+C=20,其中2B、20为偶数,故3A+C为偶数,即A、C同奇或同偶.但由于A,C为不同的质数,不可能同偶,故A,C同为奇数.穷举法得,符合条件的只有A=3,B=2,C=7,A+B+C=12.
3.(A)
4.(D)
5.(C)
【解析】条件(1)和条件(2)单独显然不充分,故联立两个条件.
由条件知10＜a＜b＜c＜20且b和c为质数,10到20之间的质数为11,13,17,19.
又因为a,b,c是三个连续的奇数,故a=15,b=17,c=19,a+b=32,因此两个条件联立起来充分.
6.(A)
【解析】由数字整除的性质可知,a679b能被72整除,那么这个数既能被8整除又能被9整除.若能被8整除,则末三位数字(79b)能被8整除,即
所以b=2.
若被9整除,则所有数字加起来之和是9的倍数,即a+6+7+9+2=a+24能被9整除,a在万位,所以a肯定是一位数,在1～9之间穷举可得,a=3.
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