数列的概念与性质-管理类联考·老吕数学要点精编

1.数列的概念

1.1　数列

数列是按一定次序排列的一列数.数列中的每一个数都叫作这个数列的项.第1项、第2项、第3项、……、第n项、……,分别记为a1,a2,…,an,….

在函数意义下,数列是一个以次序n为自变量,以项an为函数值的函数.定义域是正整数集.

1.2　数列的通项公式

如果一个数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个关于n的解析式f(n)表达,则称an=f(n)为数列{an}的通项公式.

【注意】数列并不一定都有通项公式.一个数列的通项公式也不一定只有一个.

1.3　数列的前n项和

数列{an}的前n项的和记作Sn,对于数列{an}显然有

已知Sn,求{an}的通项公式,显然有

典型例题

【解析】已知前n项和求通项公式,可分以下几步:

①当n=1时,a1=S1=3;

②当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2+n-2-4(n-1)2-(n-1)+2=8n-3;

③将a1=3代入an=8n-3,不成立,故需要写成分段数列,即

【快速得分法】可以令n=1,2,3,分别求出a1,a2,a3,代入选项验证,可迅速得答案.

【答案】(C)

例2数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+2,则an+1+an+2+an+3=(　　).

(A)6n+18(B)3n+6(C)6n(D)18(E)6n-18

【解析】

【答案】(A)

2.数列单调性(www.xing528.com)

2.1　数列按单调性分类

递增数列:若数列{an}中,an+1＞an,即从第二项开始每一项都比前一项大,则称此数列为单调递增数列.

递减数列:若数列{an}中,an+1＜an,即从第二项开始每一项都比前一项小,则称此数列为单调递减数列.

摆动数列:若一个数列,从第二项开始,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,则此数列为摆动数列.

常数列:若一个数列,每个项的值均为同一个常数,则此数列为常数列.

2.2　数列单调性的判定

判断一个数列单调性的常用方法:比差法、比商法.

比差法:若数列{an}中,an+1-an＞0,则为递增数列;若an+1-an＜0,则为递减数列.

比商法:在数列{an}中,若

典型例题

例3若数列{an}中an＞0,且an=n(an+1-an),则该数列为(　　).

(A)递增数列(B)递减数列(C)常数列

(D)摆动数列(E)无法判断单调性

【解析】由an=n(an+1-an)=nan+1-nan,得(n+1)an=nan+1.

【答案】(A)

本节习题自测

1.已知数列{an}的前n项的和记作Sn=2+3n-1,则它的通项an是(　　).

(E)以上选项均不正确

习题详解

1.(E)

【解析】当n=1时,a1=S1=2+31-1=3;