例1.43（江苏省1998年竞赛题） 求
解析 因为
所以
例1.44（江苏省2004年竞赛题） 设函数f（x）在区间（-∞，+∞）上有定义，在x=0处连续，且对一切实数x1，x2有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），求证：f（x）在（-∞，+∞）上处处连续.
解析 在f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中令x1=x2=0，可得f（0）=0.因f（x）在x=0处连续，所以
∀x0∈（-∞，+∞），令x-x0=t，则
所以f（x）在x0处连续.由x0∈（-∞，+∞）的任意性，故f（x）在（-∞，+∞）上处处连续.
例1.45（江苏省2000年竞赛题） 函数
的可去间断点为（ ）
A.x=0，1 B.x=1 C.x=0 D.无可去间断点
解析 可去间断点的可疑点为x=0与x=1.由于
所以x=1为第二类间断点.而
且
在x=0无定义，所以x=0为可去间断点.故选C.
例1.46（南京工业大学2009年竞赛题） 函数
的可去间断点为_________.
解析 函数f（x）有间断点x=0与x=1.由于
所以x=0为f（x）的可去间断点.由于
所以x=1是f（x）的跳跃型间断点.(www.xing528.com)
例1.47（精选题） 设
有可去间断点x=1，求a和b的值.
解析 因x=1为可去间断点，所以a=1或b=1.当b=1时，由于
不合题意.当a=1时，要
存在，必须b=e.当b=e时，有
符合题意，所以a=1，b=e.
例1.48（精选题） 设f（x）对一切实数满足f（x2）=f（x），且在x=0与x=1处连续，求证：f（x）恒为常数.
解析 
由于n→∞时u=
→1，且f（x）在x=1处连续，所以
由于f（x）在x=0处连续，所以f（0）=f（1）.故∀x∈R，f（x）=f（1）.
例1.49（北京市1992年竞赛题） 设函数f（x）在（0，1）上有定义，且函数exf（x）与函数e-f（x）在（0，1）上都是单调递增的，求证：f（x）在（0，1）上连续.
解析 对∀x0∈（0，1），证明f（x）在x0的连续性，首先考虑右连续.
当0＜x0＜x＜1时，由于e-f（x）单调递增，故e-f（x0）≤e-f（x），可知
f（x0）≥f（x）
又因为exf（x）单调递增，故ex0f（x0）≤exf（x），得
在上式中令x→x0+，由夹逼准则知
，即f（x）在x0右连续.同理可得其左连续性.
由此f（x）在x0是连续的，由x0在（0，1）内的任意性知f（x）在（0，1）上连续.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
