高等数学竞赛题解析教程：利用导数解题

例2.1（北京市1994年竞赛题）　设函数f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对任意x都有f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时f（x）=x（1-x2），试判断在x=0处函数f（x）是否可导.

解析　当-1≤x＜0时有0≤x+1＜1，故

由于，故f（x）在x=0处不可导.

例2.2（江苏省2000年竞赛题）　设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），欲使F（x）在x=0可导，则必有（　）

A.f′（0）=0　B.f（0）=0

C.f（0）+f′（0）=0　D.f（0）-f′（0）=0

解析　由导数的定义，有

因为，所以要使上式右端极限存在，必须f（0）=0.故选B.

例2.3（北京市1991年竞赛题）　设f是可导函数，对于任意实数s，t有

f（s+t）=f（s）+f（t）+2st

且f′（0）=1，求函数f的表达式.

解析　令s=0，得

f（0+t）-f（0）=f（t）⇒f（0）=0

故

积分得f（s）=s2+s+c，由f（0）=0得c=0.于是f（s）=s2+s.

例2.4（精选题）　设，求f（x），并讨论f（x）的连续性与可导性.

解析　根据题意，有f（1）=（1+a+b），且当x＞1时f（x）=x2，当x＜1时f（x）=ax+b.则当x≠1时，f（1-）=a+b，f（1+）=1.故当a+b=（1+a+b）=1，即a+b=1时f在x=1时连续，且f（1）=1.

又

于是仅当a=2，b=-1时，f在x=1处可导.

例2.5（江苏省2006年竞赛题）　设(www.xing528.com)

试问a，b，c为何值时，f（x）在x=0处一阶导数连续，但二阶导数不存在？

解析　因f（0-）=c，f（0+）=0，f（0）=c，又f（x）在x=0连续，所以c=0.由

所以b=1，且

因f′（0-）=1，f′（0+）=1，f′（0）=1，故b=1，c=0时f′（x）在x=0处连续.

又

则当2a≠-1，即a≠-时f（x）在x=0处二阶不可导.

综上，a≠-，b=1，c=0为所求之值.

例2.6（江苏省1994年竞赛题）　已知f（0）=0，f′（0）存在，求

解析　因f（0）=0，f′（0）存在，所以

这里k=1，2，…，n.于是n→∞时

例2.7（全国大学生2009年初赛题）　设f（x）是连续函数，又

且　（A为常数）

求g′（x），并讨论g′（x）在x=0处的连续性.

解析　首先由可得

当x≠0时，令xt=u，则

求导数得

当x=0时，利用导数的定义与洛必达法则，可得

由于

所以g′（x）在x=0处连续.