高等数学竞赛题解析教程：函数连续性

1）函数f（x）连续的定义：设f（x）在x=a的某邻域内有定义，若f（a），则称f（x）在x=a处连续；若函数f（x）在某区间（a，b）上每一点皆连续，称f（x）在（a，b）上连续，记为f∈C（a，b）；若f（x）在（a，b）上连续，且f（x）在x=a处右连续（即在x=b处左连续（即则称f（x）在［a，b］上连续，记为f∈C［a，b］.

2）连续函数的四则运算性质

3）复合函数的极限与连续性

定理1　若函数f（x）在x=b处连续，则

定理2　若函数φ（x）在x=a处连续，函数f（x）在x=b=φ（a）处连续，则f（φ（x））在x=a处连续，即有

定理3　初等函数在其有定义的区间上连续.

4）间断点的分类

若f（x）在x=a处不连续，则称x=a为f（x）的间断点.间断点分为两类：(www.xing528.com)

（1）若f（a-）与f（a+）皆存在时，称x=a为f（x）的第一类间断点.若f（a-）=f（a+），称x=a为可去型；若f（a-）≠f（a+），称x=a为跳跃型.

（2）若f（a-）与f（a+）中至少有一个不存在时，称x=a为f（x）的第二类间断点.

5）闭区间上的连续函数的性质

定理4（有界定理）　若f∈C［a，b］，则∃K＞0，使得∀x∈［a，b］，|f（x）|≤K.

定理5（最值定理）　若f∈C［a，b］，则∃x1，x2∈［a，b］，使得

∀x∈［a，b］，f（x1）≤f（x）≤f（x2）

定理6（零点定理）　若f∈C［a，b］，f（a）f（b）＜0，则∃ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0（称x=ξ为函数f（x）的零点）.