极坐标系下计算二重积分

点M 在直角坐标系与极坐标系中的坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),有关系

图9.16

极坐标系中用ρ=R(极点O 为圆心的一簇同心圆),θ=ϑ(从极点O 出发的一簇射线)将区域D 分成n 个小闭区域,每个小闭区域可近似用边长为Δρ,ρΔθ 的小矩形替代(除含边界点的一些小闭区域外),如图9.16 所示.其面积Δσ≈ρΔρΔθ,即面积元素为

一般极坐标系下的二重积分先对ρ 后对θ 积分.通过极点O 的半射线OEF 穿过积分区域D,且射线与边界交点至多两个,由边界到边界确定积分上下限(见图9.17(a)).

下面根据积分区域D 与极点的位置说明极坐标下二重积分化为二次积分的表示式.

1.极点不在积分区域D 内(见图9.17)

积分区域D 在极坐标系下可表示为

其中,函数φ1(θ),φ2(θ)在区间[α,β]上连续.

图9.17

因此,二重积分化为二次积分的表达式为

上式也写为

2.极点在积分区域D 的边界上(见图9.18)

积分区域D(曲边扇形)在极坐标系下可表示为

其中,函数φ(θ)在区间[α,β]上连续.

因此,二重积分化为二次积分的表达式为

3.极点在积分区域D 内(见图9.19)

图9.18

图9.19(www.xing528.com)

D 在极坐标系下可表示为

其中,函数φ(θ)在区间[0,2π]上连续.

因此,二重积分化为二次积分的表达式为

(1)D 是由x2 +y2 =1 与x2 +y2 =4 所围成的圆环形闭区域;

(2)D 是由x2 +y2 =1,y=x,y=0 所围成的扇形闭区域.

解　草图请读者自行完成.

图9.20

记全平面为R2,则:

又由式(1)的结果,广义二重积分

在广义下,有

习题9.2

1.在直角坐标系下计算下列二重积分:

3.改变积分次序:

4.利用极坐标计算下列二重积分:

6.用适当坐标计算下列积分: