高数竞赛题解：定积分定义求极限

例3.19（浙江省2007年竞赛题）　设

（1）由于

（2）由于，所以

例3.20（江苏省2006年竞赛题）　已知，求

解析　化为定积分求极限，则

例3.21（莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）　求

用放缩法，即

由定积分的定义，有

例3.22（南京大学1996年竞赛题）　已知

解析　当x≠0时，由于，则应用重要极限公式可得

当x＝0时，应用定积分求极限，有

例3.23（江苏省1996年竞赛题）　设

（1）讨论f（x）在x＝0的可导性；

（2）求函数f（x）在［－π，π］上的最大值.(www.xing528.com)

解析　（1）当x＞0时

应用夹逼准则得，再应用夹逼准则得，即

（2）0＜x≤π时令g（x）＝xcosx－sinx，则g′（x）＝－xsinx≤0，且仅当x＝π时g′（x）＝0，所以g（x）严格减，g（x）＜g（0）＝0，所以f′（x）＜0，f（x）严格减.而f（x）为偶函数，故－π≤x＜0时f（x）严格增.因此f（x）在［－π，π］上的最大值为f（0）＝1.

例3.24（全国大学生2014年预赛题）　已知

解析　令则

∀x∈［xi－1，xi］，在［x，xi］上应用拉格朗日中值定理，存在ξi∈（x，xi），使得

f（x）－f（xi）＝f′（ξi）（x－xi）

于是

因－f′（x）∈C［xi－1，xi］，应用最值定理，存在mi，Mi∈R，使mi≤－f′（x）≤Mi，其中x∈［xi－1，xi］.于是

即，应用介值定理，存在ζi∈（xi－1，xi），使得

例3.25（北京市1997年竞赛题、全国大学生2016年预赛题）　设函数f（x）在区间［a，b］上具有连续导数，证明：

解析　n等分区间［a，b］，分点分别为a＝x0＜x1＜…＜xn－1＜xn＝b；记h，则xk＝a＋kh（k＝1，…，n）.因此，上式

其中，ξk∈（xk－1，xk），ηk∈（ξk，xk）.