高数竞赛定积分计算题解析

例3.49（江苏省1998年竞赛题）　设连续函数f（x）满足

求f（x）.

解析　设A=，则f（x）=x+Ax2+Bx3，所以

由上述两式解出A=，B=-1，于是f（x）=x+x2-x3.

例3.50（江苏省2008年竞赛题）　=________________________.

例3.51（江苏省2000年竞赛题）　设

求

解析　令x-1=t，则

例3.52（南京大学1993年竞赛题）　=________.

解析　分部积分，则

例3.53（南京大学1995年竞赛题）　=________.

解析　作换元变换，令xn=tant，则

故

例3.54（江苏省2006年竞赛题）　求

令可解得，则

故原式=

例3.55（江苏省2006年竞赛题）　=_________.

解析　令arctanx=t，作换元变换，则

例3.56（江苏省1994年竞赛题）　已知f（x）=，求

解析　因为

应用分部积分法得（因f（1）=0）

例3.57（江苏省1996年竞赛题）　设f（t）=，求

解析　因为f′（t）=，f（1）=0，分部积分得

例3.58（江苏省2002年竞赛题）　求

例3.59（江苏省2002年竞赛题）　求

例3.60（江苏省1996年竞赛题）　若f（u）是连续函数，证明，并求(https://www.xing528.com)

解析　作积分变换，令x=π-t，则

于是

应用此公式，则

例3.61（北京市2000年、浙江省2002年竞赛题）　求积分

解析　应用定积分分部积分公式，有

例3.62（北京市1990年竞赛题）　求I=，n∈N.

解析　由于，应用定积分换元法和周期函数的定积分性质，有

例3.63（北京市1990年竞赛题）　求积分

解析　因为

例3.64（浙江省2004年竞赛题）　计算

解析　令x=+t，则运用基本积分公式与奇函数的定积分性质，有

例3.65（江苏省2000年竞赛题）　设可微函数f（x）在x＞0上有定义，其反函数为g（x）且满足，试求f（x）.

解析　在原式中令f（x）=1得-8=0，解得x=4，即f（4）=1.设t=f（x），反函数为x=f-1（t），故g（t）=f-1（t），则

于是

两边对x求导得

积分得f（x）=+C，由1=2+C，解得C=-1，于是所求函数为

例3.66（南京大学1995年竞赛题）

（1）证明：

（2）计算：

解析　（1）令x=，则

例3.67（精选题）　设F（a）=，求F（-a），F（a2）.

解析　作定积分的换元变换，令x=π-t，则

由于F（-a）=F（a），所以

比较（1）与（2）式即得F（a2）=2F（a）.