诸田求积方法及图示演示

该节给出了38个平面直线图形的面积解法。除了涵盖《九章比类》的所有直线图形外，还给出了四广田、五广田、一尖五广田、二尖五广田等更复杂的图形面积求法。这些题目，除少数王文素指明来源外，其余的出处尚不清楚。不过同类问题在宋元明时代是司空见惯的。王文素的贡献在于他纠正了前人尤其是吴敬的失误。试举几例。

三广不等的图形，王文素叫作三广田，如图1（1）（2）。设一头广a1，中广a2，另一头广a3，长b，其面积公式为

图1　三广田

吴敬只将如图1（2）的图形称为三广田，公式同上。而将如图1（1）的图形称为船田，却用公式S=（a1+a2+a3）]b求其面积。这显然承袭了《五曹算经》[8]的错误。王文素引用了杨辉对《五曹算经》的批评。他说：

杨氏曰：“三广田乃小梯田一段，大梯田一段。二阔相抵，中广正在当腰者，可用‘倍中广加两头，乘长，四而一’之术。若中广偏近一头者，只得作两段梯田求之，庶不错误。”又谓：“《五曹算法》用‘并三广，正从乘而三除’，误矣。”

王文素所引杨辉的话见之于《田亩比类乘除捷法》。王氏这里虽未直接批评吴敬，实际上却纠正了他的错误。不知为什么吴敬对形如图1（2）的三广田采纳了杨辉的意见，而对图1（1）的图形却坚持《五曹算经》的错误。其实，杨辉之后，吴敬之前，元朝贾享的《算法全能集》、[9]安止斋的《详明算法》，[10]对图1（2）的三广田都已使用了杨辉的公式。杨辉指出：公式（1）只适用于中广到两头广距离相等的情形，而对距离不等的情形，如图1（3）所示，则必须分成二块梯田，用梯田公式分别求其面积，然后求二者之和解决之。王文素指出：“愚论此说甚当，故设一题于左较之。”他假设一三广田，一头广13步，距中广10步，中广9步，另一头广17步，距中广20步。按二块梯田计算面积为370步，而按公式（1）计算为360步，按《五曹》错误公式为390步。

自《五曹算经》起，人们开始讨论四不等田[8]，即不规则的四边形面积，见图2（1）。《五曹算经》提出公式

其中a1，b1，a2，b2是四边长。杨辉在《田亩比类乘除捷法》中批评了《五曹》公式的错误。他指出：

四围四面不等者，必有斜步。然斜步岂可作正步相并？今以一寸代十步为图，以证四不等田不可用“东西相并、南北相并，各折半相乘”之法。[5]

可是贾亨《算法全能集》、安止斋《详明算法》、吴敬《九章比类》无视杨辉的批评，仍沿袭《五曹算经》的错误公式。

图2　四不等田

实际上，杨辉并未完全解决四不等田的问题。他假设了一个角是直角的四不等田，如图2（2），然后将其分成一个勾股形与一个半梯形（即《九章算术》的邪田），分别求其面积，计算二者之和。王文素指出：“杨氏用分两段筭四不等田，诚为有益，但所裁股步稍差。”原来，杨辉假设的四不等田北长15步，西长45步，两者垂直，东长35步，南长25步。西长分成勾股形的勾11步，梯形的底34步。而勾股形的股是22.449 95步。但是，如果从北头算起，则股为15步+步=23.306 62步。两者不能自洽。他认为，勾股段勾长应为10.82步，股长应为22.532步。实际上，李俨藏日本关孝和抄本的转抄本《田亩比类乘除捷法》中已载有批评《杨辉算法》“非也”，并纠正其数值的文字[5]，这是别话。

王文素进一步指出，杨辉只试图解决一种非常特殊的四不等田，但四不等田通常没有一个直角。因此，他的“证曰”：

右古四不等田，东、南二面虽斜，西、北二面尚正，可用杨辉之法。若四面俱斜不等者，宜从两角尖斜量为中长之弦，其余两角至弦为阔，务令长阔抵处十字交正为则，下设题图可验。

王文素的图如图2（3）所示，为了计算四不等田乾坤巽艮的面积，量出乾巽长，作为弦，分别自坤、艮向弦作垂线，量出垂线段的长度，分别计算面积，求其和即可，他说：

观此田势，即是四段句股田。而句股相乘，亦是两段偏半梭田，即是两段偏圭田。

偏半梭田或偏圭田面积公式是人们所熟知的。可以说，在中国数学史上，到王文素才成功地解决了四不等田的面积解法。

“方田桑生中央，至四隅各一百四十七步，问：为田几何？”这是一个古老的题目，如图3。《五曹算经》由147步×2×5÷7求出方田的一边长，然后求其面积。[8]设桑至四角距离为a，《五曹》实际上是使用了S=（2a×）2，其中是的近似值，是木工所常用的。杨辉批评《五曹》的不准确：(www.xing528.com)

《五曹》以二乘桑至隅，乃取田之全斜也。以五乘七除，即方五斜七之义，所以误荅前数。盖方五斜七，仅可施于尺寸之间，其可用于百步之外。^[2]

王文素同意杨辉的意见。吴敬《九章比类》也采纳了杨辉的看法，没有沿袭方五斜七，但却用S=（2a）2求解，是错误的。王文素“证曰”：“《九章算术》之误欠折半也。”求面积公式应为S=（2a）2，显然它是由S=（2a×）2化来的。

图3　桑生方田中央

图4　三角田

图5　六角田

吴敬《九章比类》提出一个求三角田面积的问题，实际上是求一个正三角形的面积，如图4。设其每边长为a，吴敬所使用的求面积公式是，其系数是的近似值。这个公式在理论上是正确的，但数学著作中不应当用代替。因此，王文素“证曰”：“直六斜七与方五斜七并勿用。”他提出了新的方法：

新证术曰：置一面自乘，另置半面自乘，相减而又相乘，为实，开平方法除之。

这就是

这是一个正确的公式，只是繁琐了些，直接用即可，不知为什么王文素要做得那么复杂。

吴敬《九章比类》又提出六角田即正六边形面积问题：“法曰：置每面自乘，以三乘之，以亩法除之，合问。”设a为六角田之每边长，吴敬是说S=3a2。这个公式的错误是明显的。王文素“证曰”：“古术以‘每面自乘，三因’，是斜步作正步筭之。”吴敬之所以犯这个错误，除了其数学水平低下，很难得到合理解释。因为，计算正六边形，以至正192边形面积，早在刘徽《九章算术注》中就解决了。王文素认为：

观此田势，即是鼓田一段。又是箕田二段，而舌相连。又直一段居中，半梭田两段居旁。又是六段圭田，而众尖攒聚。

就是说，求六角田的途径可以有多种，而其中“如鼓田量筭为便”。不过，王文素提出了另外的方法：

新证术曰：每面自乘，三因。另置一面半数自乘。相乘为实，开平[方]^[3]法除之。

此即

王文素的公式也是正确的，仍嫌繁琐。按六圭形算，其高，可直接得出第二个等号的算式。