最小二乘法”及其应用

设在一次试验中，取得n对数据（xi，yi），其中yi是随机变量y对应于xi的试验值，图3-19中的直线是根据这n对数据（xi，yi）描绘的回归直线，其中是试验值yi的回归值.

图3-19

每一个试验值yi与回归值i之间的差为yi-i，在图中表示为两个纵坐标之差，这个差有正有负，其绝对值为.但由于绝对值在处理上比较麻烦，所以一般用平方和表示，即

这个平方和Q是随着回归系数，而变的，因此它是，的一个二元函数，其中xi，yi 为常数.

根据二元函数求极值的方法，求偏导数并令其等于0，得

式③还可写成

式中，，即为Q的最小值系数，使得达到最小.

以，为回归系数的直线方程，就是我们所要求的回归方程，它最能代表这些点的散布状态.由于在求系数，时，是使平方和Q最小，故称这种方法为最小二乘法.

如果令

将求得的，代入=+x，就得到一元线性回归方程的具体表达式.(www.xing528.com)

【例 1】写出引例中总成本C对运输量x的回归方程.为了方便起见，借助计算机，将计算列成表格，如表3-1所示.

表3-1

续表

由表3-1可得

代入数据得

故总成本C对运量x的回归方程为

从中可知固定成本为0.99万元，可变成本为1.21万元.

结合例子我们求出了一元线性回归方程，下面归纳一下具体步骤：

（1）由题中经验数据，列出回归方程计算表；

（2）由公式计算回归系数，，把，的值代入=+x，即得回归方程.