多服务台负指数分布排队系统（M/M/C）的特征与应用

关于标准的M/M/C 模型的各种特征的规定与标准的M/M/1 模型的规定相同。另外，规定各服务台工作是相互独立（不进行协作研究），且平均服务率相同μ1＝μ2＝…＝μC＝μ。于是整个服务机构的平均服务率为Cμ（当n≥C）或nμ（当n＜C）。令只有当时，才不会排成无限长的队列，称它为这个系统的服务强度或服务机构的平均利用率。

系统利用率：

正在接受服务的顾客平均数：

系统中等待的平均顾客数：

系统中的平均顾客数：

顾客平均逗留时间：

顾客平均等待时间：

例8-4　某售票处有三个窗口，顾客的到达服从泊松分布，平均到达速率λ＝0.9 人/分钟；售票时间服从负指数分布，平均服务速率μ＝0.4 人/分钟。现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，顾客到达和服务图如图8-3 所示。试分别用公式、Excel 和仿真求解：

（1）整个售票处空闲概率；

（2）系统队长和平均排队长度；

（3）平均等待时间和逗留时间；

（4）顾客到达后必须等待的概率（n≥3）。

图8-3

解　这是一个典型的M/M/C 排队问题。

（1）整个售票处空闲概率：

（2）系统队长和平均队列长：

（3）平均等待时间和逗留时间：

（4）顾客到达后必须等待的概率（n≥3）：

例8-5　银行取号系统有用吗？

下面以例8-4 来说明。如果其他条件不变，顾客到达后在每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，就形成三个队列，顾客到达和服务图如图8-4 所示。试分别用公式、Excel求解：(www.xing528.com)

（1）取号系统空闲概率；

（2）系统队长和平均排队长度；

（3）平均等待时间和逗留时间；

（4）顾客到达后必须等待的概率（n≥3）。

图8-4

解　这是三个M/M/1 同时服务的排队问题。

（1）取号系统空闲概率（每个窗口空闲）：

（2）系统队长和平均队列长：

（3）平均等待时间和逗留时间：

（4）顾客到达必须等待的概率（每个窗口n≥1）：

结论：银行取号系统是有效的。

图8-5

表8-4

图8-6

表8-5

比较这两个系统的主要指标可以看出，混合排队比独立排队具有明显的优越性，关于这一点，在排队系统的排队方式的设计时应该注意。

结论：集中使用优于分散使用。

即将资源组合在一起为所有的顾客提供服务，可以在等待时间不变的条件下，减少所需要的资源总量。如果是两列独立排队，那么客户可能要等那位指定的服务人员提供服务，这位服务人员可能当时正忙得抽不开身，而另一位服务人员却闲着没事干。在集中使用的系统中就不会出现这种现象。

大规模制造或服务设施的规模经济学：

（1）在保持同样利用率的情况下减少平均等待时间；

（2）在保持同样平均等待时间的情况下提高利用率。