单服务台指数分布排队系统的计算与分析

标准的M/ M/ 1 模型是指适合下列条件的排队系统：

（1）输入过程：顾客源是无限的，顾客单个到来，相互独立，一定时间的到达数服从泊松分布，到达过程是平稳的。

（2）排队规则：单队，且对队长没有限制，先到先服务。

（3）服务机构：单服务台，各顾客的服务时间是相互独立的，且服从相同的负指数分布。

此外，还假定到达间隔时间和服务时间是相互独立的。

系统状态为n的概率为

上式的ρ 有其实际意义。根据表达式的不同，可以有不同的解释：当表达式为时，它表示平均到达率与平均服务率之比，即在相同时区内顾客到达的平均数与被服务的平均数之比；若表达式为它表示一个顾客的服务时间与到达间隔时间之比。称 ρ 为服务强度（traffic intensity），或称ρ 为话务强度。这是因为早期排队论是爱尔朗等人在研究电话理论时用的术语，一直沿用至今。由于ρ=1-P0，故它刻画了服务机构的繁忙程度，又称之为服务机构的利用率。

以上式为基础，可以算出系统的运行指标：

系统利用率：

正在接受服务的顾客平均数：

系统中的平均顾客数：

系统中等待的平均顾客数：

顾客平均逗留时间：

顾客平均等待时间：

例8-1　一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从负指数分布，平均到达密度为2 艘/小时；服务台是1 台吊车，卸货时间服从负指数分布，平均每20 分钟可卸一艘货船，当被占用时，新到货船只能停在码头等待。求在平稳状态下码头上货船的平均数；等待卸货船只的平均数；每艘货船在码头的平均停留时间；货船平均需等待多长时间可以开始卸货。(www.xing528.com)

解　这是一个典型的M/M/1 排队问题。其中

例8-2　某医院手术室根据病人就诊和完成手术时间的记录，任意抽查100 个工作小时，每小时来就诊的病人数n的出现次数如表8-2 所示。又任意抽查了100 个完成手术的病例，所用时间t 出现的次数如表8-3 所示。试分别用公式、Excel 和仿真求解。

表8-2　到达病人数

表8-3　手术时间

解　这也是一个M/M/1 排队问题。

（1）计算平均到达率：

平均手术时间：

平均服务率：

（2）取λ=2.1，μ=2.5，通过统计检验方法认为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数为2.5的指数分布。

（3）服务设备利用率：

这说明，服务机构（手术室）有84%的时间是繁忙的（被利用），有16%的时间是空闲的。

（4）依次代入公式，算出各指标得：