样本回归函数、残差项和回归模型简析

在实际经济问题的处理中，很难将所有条件下被解释变量可能取值全部测量出来，因此总体回归函数以及随机扰动项的观测值是无法直接计算出来的，通常能做到是对应解释变量X选定的水平下，对被解释变量进行有限次观测获取样本点，通过获得的样本点信息估计总体回归函数和随机扰动项的观测值。

仍以例1中2015年中国31个省市自治区居民人均可支配收入（X）与人均消费支出（Y）为例，该例子相当于对每一个人均可支配收入水平下的人均消费支出进行一次观测后获得的一个样本点，散点图仍为图2-6。

图2-6　2015年中国31个省市自治区居民人均可支配收入（X）与人均消费支出（Y）

对于给定的条件X=Xi下，对被解释变量进行若干次观测，可以计算出被解释变量样本观测值的条件均值，Y的观测值的条件均值随解释变量X变化的轨迹称为样本回归线，图2-6中的直线就是通过合适的估计方法得到的一条样本回归线，样本回归线的解析式称为样本回归函数，很显然样本回归函数的形式应该与对应的总体回归函数形式一致，类比式（2-5），线性样本回归函数可以表示为

其中，是条件X=Xi下被解释变量Y的样本条件均值，可以视为对总体条件均值E（Y/X=Xi）的估计；和是样本回归函数的截距项和斜率项系数，可以视为对总体回归函数中β1和β2的估计；这就意味着样本回归函数是对总体回归函数的估计。

从图2-1中不难发现，解释变量Y在X=Xi条件下的观测值并不完全等于样本条件均值，二者之间的偏离用ei表示，ei定义为(www.xing528.com)

ei称为残差项，残差项在样本点中的内涵与随机扰动项在总体中的内涵是相同的。在计量经济学模型中引入残差项的原因与引入随机扰动项的原因也是相同的。结合式（2-10）和式（2-11）可知：

从式（2-12）来看，被解释变量的个别观测值也可以分解为两部分，其一是样本条件均值i，描述了在给定的样本点中Y的样本条件均值随解释变量变化的一般趋势；其二是残差项ei，描述了被解释变量观测值与样本条件均值的偏离情况。在样本点中的点（Xi，Yi）下，样本条件均值是总体条件均值的估计，残差项是对随机扰动项在该点下一次观测值的估计。

虽然样本回归函数是对总体回归函数的估计，但二者存在较大差异，首先对于确定的总体而言，总体回归函数虽然是未知的，但是是客观唯一存在的，而样本回归函数是通过样本点获得的，这就意味着从总体中抽取出一个样本点，采用相应的参数估计方法，就会得到一个样本回归线，因此，样本回归线会随着样本点以及参数估计方法的不同而不同，样本回归函数仅是总体回归函数的近似反映；其次总体回归函数中的β1和β2是参数，虽然未知，但是是确定的常数，而和会随着样本点及参数估计方法的不同而不完全相同，在固定的参数估计方法下，和所有可能取值形成和的抽样分布；另外，总体回归模型中的随机扰动项是无法进行直接观测的，而残差项只要估计出样本回归函数，就可以进行直接计算。总体回归函数、样本回归函数、随机扰动项和残差项的关系可以通过图2-7进行表示。

图2-7　总体回归线、样本回归线、随机扰动项的一次实现与残差项

表示总体内变量间数量关系和数量规律的总体回归函数是未知的，回归分析的目的就是要依据样本点，利用某种规则，通过“尽可能接近总体参数”的原则，对β1和β2以及随机扰动项的相关参数进行科学估计，这一部分内容属于计量经济学中参数估计的内容。