观测值线性函数的中误差优化

设有函数

Z=K₁X₁±K₂X₂±…±K_nX_n （6-32）

式中X₁、X₂、…、X_n——独立直接观测值；

K₁、K₂、…、K_n——常数。

并设m₁、m₂、…、m_n为相应各独立直接观测值的中误差，m_Z为函数Z的中误差。

为了求出函数的中误差与各观测值中误差的关系式，设

Z₁=K₁X₁

Z₂=K₂X₂ （6-33）

︙

Z_n=K_nX_n

根据式（6-23），得

Δ_Z1=K₁ΔX₁

Δ_Z2=K₂ΔX₂ （6-34）

︙

Δ_Zn=K_nΔX_n

由式（6-24），得

m_Z1=K₁m₁

m_Z2=K₂m₂

︙

m_Zn=K_nm_n （6-35）

将式（6-33）代入式（6-21），得

Z=Z₁±Z₂±…±Z_n

因此，由式（6-30），得

将式（6-35）代入上式，即得(www.xing528.com)

即线性函数的中误差，等于各常数K₁的平方与相应独立直接观测值X_i的中误差m_i平方乘积和的平方根。

例6-5 对某一导线边进行往返测量，其长度丈量结果为

S_往=112.378m±0.012m

S_返=112.370m±0.012m

求该导线边平均值S及其中误差m_s。

解：该题的函数式为

S=1/2（S_往+S_返）=1/2S_往+1/2S_返=112.374m

则依式（6-23）可计算出S的中误差。此题K₁=1/2；K₂=1/2；m₁=±0.012m；m₂=±0.012m，故

最后结果为

S_均=112.374m±0.008m

例6-6 等精度观测四边形四内角，其角值为A′、B′、C′、D′，观测角中误差m=±10″，若对每角的观测值反号分配四分之一的角度闭合差，以求得改正后的各角值，则

A=A′-W/4；B=B′-W/4；

C=C′-W/4；D=D′-W/4。

试求角度闭合差W及改正后角A的中误差。

解：四边形角度闭合差和A的计算式为

W=A′+B′+C′+D′-360°

A=A′-1/4∗W

其真误差关系式为

对于求A角中误差，由于W系非独立直接观测值，因而ΔW也不是独立直误差，故改化为直接观测值真误差的表达式

ΔA=ΔA′-1/4（ΔA′+ΔB′+ΔC′+ΔD′）=3/4ΔA′-1/4ΔB′-1/4ΔC′--1/4ΔD

再应用线性函数中误差式（6-23）计算A角的中误差，即

本例说明，在解求函数中误差时，如果在函数式中有非独立直接观测量，应首先用独立直接观测量予以代换，且将相同自变量合并后，才能应用误差传播定律公式求解函数中误差。这一点，读者务必特别注意，以免得出错误的计算结果。