正应力与切应力及其相互关系证明

如上所述，内力是外力作用使构件内部相连部分之间相互作用力的改变量，并沿截面连续分布。为了描述内力的分布情况，现引入内力分布集度即应力的概念。

1.正应力与切应力

如图1-10（a）所示，在截面m－m上任一点k的周围取一微小面积ΔA，并设作用在该面积上的内力为ΔF，则ΔF与ΔA的比值称为ΔA内的平均应力，并用pm表示，即

图1-10　截面上一点处的平均应力与应力的概念

一般情况下，内力并非沿截面均匀分布，平均应力的大小及方向将随所取面积ΔA的大小不同而不同。为了更精确地描写内力的分布情况，应使ΔA趋于零，由此所得平均应力的极限值称为截面m－m上k点处的应力或全应力，并用p表示，即

显然，应力p的方向即ΔF的极限方向。为了分析方便，通常将应力p沿截面法向与切向分解为两个分量[图1-10（b）]。沿截面法向的应力分量称为正应力，并用σ表示；沿截面切向的应力分量称为切应力，并用τ表示。显然有

在我国法定计量单位中，力与面积的基本单位分别为N与m2，应力的单位为Pa[帕（斯卡）]，1Pa＝1N/m2。在材料力学中，应力的常用单位为Mpa（兆帕），其值为

由式（1-5）可知，如果力的单位用N，长度的单位用mm，则得到的应力单位就是Mpa，不必再转换单位，这为数值计算带来方便。

2.单向应力、纯剪切与切应力互等定理

如前所述，受力构件中一点的应力不仅与该点的空间位置有关，而且与该点所在的截面有关。由于过一点可以截出无穷多个截面，所以一点的应力状态实际上有无穷多个。构件中一点在所有截面上应力的集合称为该点的应力状态。研究表明，只要知道一点在一些特定截面上的应力，其他任意截面上的应力都可以通过计算得到。

图1-11（a）所示的直角坐标系（x，y，z），为考察构件中任意一点k处的应力状态，选取过k点的三个特殊截面，它们的外法线分别与x轴、y轴和z轴的标准单位矢量i、j、k的正向相同，可称为正x面、正y面和正z面。若三个特殊截面上的应力矢量分别为px、py和pz，将px、py和pz分别在x轴、y轴和z轴上分解，得到图1-11（b）所示的9个应力分量：σxx、τxy、τxz；σyy，τyx，τyz；σzz，τzx，τzy。其中，第一个下标表示截面的法线方向，第二个下标表示该应力的方向。为了简洁，通常将σxx、σyy和σzz分别写为σx、σy和σz。

图1-11　截面上一点处应力的标记方法

图1-11（b）中是将三个特殊截面（即正x面、正y面和正z面）再加上三个负面，即负x面（外法线与x轴负向相同的面）、负y面（外法线与y轴负向相同的面）、负z面（外法线与z轴负向相同的面），围合成一个正六面体，可以理解为是从构件中截出的包含k点的单元体，该单元体表面上的应力就代表k点的应力状态。图1-11（b）给出的是最复杂的应力情况，9个应力分量全不为零。而在材料力学研究的问题中，往往只有2个应力分量不为零，其余应力分量均为零，所以要简单得多。

单元体受力最基本、最简单的状态有两种：一种是单向受力或单向应力状态，如图1-12（a）所示；另一种是纯剪切状态，如图1-12（b）所示。在单向应力状态下，单元体只在一对互相平行的截面上承受正应力，当σ为拉应力时，称为单向拉伸应力状态；当σ为压应力时，称为单向压缩应力状态。纯剪切应力状态只承受切应力的作用。

切应力具有独特的性质。图1-13（a）中，设单元体的三个边长分别为dx、dy和dz，并假设单元体顶面和底面的切应力为τ，左、右侧面上的切应力为τ′。根据静力平衡关系，有(www.xing528.com)

图1-12　两种典型应力状态

图1-13　切应力互等的证明图

式（1-6）表明，在单元体互相垂直的截面上，垂直于截面交线方向的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。这种关系称为切应力互等定理。即使截面上存在正应力[图1-13（b）]，切应力互等定理仍然成立，因为存在的正应力对z轴之矩的代数和为零。

图1-14　应力及其与内力分量之间的关系

3.应力与内力分量之间的关系

应力作为截面上分布内力在一点的集度，与截面的内力分量之间有着密切的关系。为了得到这种关系，依据横截面及其形心C建立图1-14坐标系Cxyz，并考察作用在横截面的微元面积dA上的正应力σ和切应力τxy、τxz，将它们分别乘以微元面积，即可得到作用在微元面积dA上的微内力σdA、τxydA和τxzdA。将这些微内力分别对Cxyz坐标系中的x、y和z轴投影及取矩，再沿整个横截面积分，即可得到应力与上述6个内力分量之间的关系式：

式（1-7）是构件在任意荷载作用下应力与内力均应满足的一般关系。在对构件基本变形的讨论中，必须满足这些关系，这是获得相关应力计算公式的依据。

【例1-1】　如图1-15所示，圆截面杆件的直径为d，其横截面上的正应力在图示坐标系下的分布规律为σ＝A0rcosθ＋B0rsinθ＋C0，试求该截面上的内力分量与常数A0、B0、C0之间的关系。

图1-15　截面上的应力和应力分量

解：由于截面上正应力沿x轴方向，故在y、z轴上的投影为零，对x轴的矩也为零，即

根据式（1-7），并用坐标变换：y＝rcosθ，z＝rsinθ，dA＝rdrdθ，则有