应力集中与三向应力分析

2.1 节讨论了试样在典型力学试验中的断裂过程，但是零部件在实际服役条件下，其受力状况与试样进行力学性能试验往往有很大不同，在进行分析时必须考虑到这些不同因素的影响。其中一个最明显的不同之处就是，在力学试验过程中样品均采用标准样品，样品均是具有一定简单形状不变截面积的几何图形且表面一般是光滑的。而实际工件往往是不同形状的构件，甚至在表面就有机加工形成的不规则区域，如尖角、台阶等。在这些区域会产生应力集中问题，这是必须要考虑的问题。

应力集中产生的原因定性分析可以可用图2-14 表示[4]。

图2-14　用应力线描述应力集中概念

设一个圆柱体沿轴向受到拉伸载荷，单位面积受到的载荷可以用应力线表示，如图2-14（a）所示，应力线均匀分布在整个截面上。应力线越密集表明应力值越高，现在假设圆柱体上开有一个圆周缺口，远离缺口表面区域载荷应力线分布仍然是均匀的，但是在缺口附近由于在缺口处无法承受载荷，应力线必将“绕过缺口区域”，分布在缺口附近的区域，造成此处的应力线就变得密集，在缺口根部其密度达到最大值，表明此处的应力远高于远离缺口附近的平均应力，这就是应力集中。

根据上述模型零部件的形状将影响应力线的分布，在一些特殊的部位会产生应力集中，见图2-15[4]。

图2-15　圆柱体的几何形状对应力分布的影响

为定量分析应力集中的影响，对于一些简单应力集中现象可以进行定量计算。例如，对于一个无限宽板上有一个椭圆形圆孔受到如图2-16 所示的载荷后在圆孔的边缘产生应力集中。

平均应力为σ平均＝P/A（A 为宽板的截面积），在椭圆的长轴两端出现应力集中。根据弹性力学理论计算最大应力：

将最大应力与平均应力的比值定义为应力集中系数K：

对于无限宽板上椭圆孔出现的K 显然与椭圆的几何形状有关，a 越大b 越小。其中，a、b 是指图2-16 中椭圆裂纹的长轴与短轴尺寸，应力集中系数就越大，应力集中影响也就越大。其他情况下也有类似的结论，即应力集中系数取决于几何形状与载荷。不同几何形状零部件在特殊部位产生的应力集中系数见附录A。

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图2-16　无限宽板上椭圆孔应力集中计算模型[3]

从式（2-17）与式（2-18）可以看到：

（1）如果a＝b 形成圆孔，最大应力是平均应力的3 倍。

（2）如果b 很小可以引起最大应力大幅度增加，说明只要材料内部的缺口等缺陷只要足够尖锐就一定引起材料的断裂。但是实际情况却并非如此。这是因为公式及附录A 中的图表均是根据弹性力学理论推导出来的，一个基本条件是材料处于弹性变形范围。实际材料是在缺口的根部区域，由于应力集中一旦达到材料屈服强度就会发生塑性变形释放应力，即使是相当脆性的材料也是如此，所以很多情况下并不会发生断裂。

零部件在三向应力状态下服役容易产生应力集中。明确三向应力状态的起因，对分析失效事故是非常有帮助的。即使在单向拉伸条件下也会产生三向应力状态。一件样品在进行拉伸试验时，随载荷的增加试样的长度也会增加，然而直径会减小。在弹性范围内，横向应变与纵向应变之间存在正比关系，比例系数称为泊松比。绝大部分合金的泊松比在0.25～0.35。

分析一个受拉伸的样品：2.1 节中已经论述，圆柱样品在单向拉伸时中部应力最大，因此首先在中部形成裂纹，这时继续拉伸就类似于对有裂纹的样品进行单向拉伸，可以用图2-17进行分析。

图2-17　裂纹样品单向拉伸产生三向应力

在裂纹处的上下两个表面没有轴向应力作用，所以在裂纹表面X 与Y 方向没有应变。但是在裂纹的根部（虚线处）材料是连续的，当有应力作用时在Y 方向要伸长，因此在Z 方向必然要收缩。因为整个裂纹面材料也是连续的，所以这种收缩会受到无收缩的裂纹表面的阻碍。也就是说，在裂纹面处裂纹根部虚线处要收缩，但是其他区域不收缩，即在Z 方向有应力作用，同理在X 方向也存在应力作用。因此虽然是单向拉伸，在心部产生裂纹后样品就处于三向应力状态。这种应力状态使材料更易于脆性断裂。对于板状材料，板越厚，裂纹越长，三向应力就越大。明确三向应力产生的原因对分析断口很有帮助。

【例2-2】　空压机连杆螺栓刀痕对疲劳断裂的影响。

某空压机连杆螺栓发生断裂，宏观断口分析属于疲劳断裂（具体判断方法见3.1 节），并确定出裂纹源的位置，见图2-18，疲劳源恰好处于加工刀痕的位置处，说明应力集中对裂纹形成有影响。

图2-18　疲劳源处于加工刀痕位置

附录A 中给出了多种情况下的应力集中系数值，供读者在对零部件进行失效分析时参考。