离散傅里叶变换的性质分析

设阵列[f（m，n）]_M×N⇔[F（k，l）]_M×N，[g（m，n）]_M×N⇔[G（k，l）]_M×N，则其具有以下性质。

（1）延拓周期性

f（m，n）=f（m+aM，n+bN）

F（k，l）=F（k+aM，l+bN）

式中，m，k=0，1，…，M-1；n，l=0，1，…，N-1；a，b为整数。这是因为和是m，n或k，l的周期函数，周期分别为M和N。

图2-16 矩形函数图像及其傅里叶变换幅值

（2）可分性

变换是可分的，即

这个性质可使二维离散傅里叶变换依次用两次一维变换来实现。

（3）线性

离散傅里叶变换和反变换都是线性变换，即

（4）尺度缩放性

特别地，当a，b=-1时，有：

f（-m，-n）⇔F（-k，-l）

即离散傅里叶变换具有符号改变对应性。

（5）平移性质

式中，m₀，n₀分别表示横纵方向的平移量。

对图像进行平移傅里叶变换和不平移傅里叶变换的效果如图2-17所示。

图2-17 对图像进行平移傅里叶变换和不平移傅里叶变换

a）原始图像 b）直接进行傅里叶变换 c）平移后进行的傅里叶变换

在阵列阵元有限的概念下，这种位移是循环位移。循环位移相当于原阵列周期延拓后的普通位移。这个性质表明，一个阵列发生平移，它的傅里叶变换阵列只改变相位，而幅值不变。

（6）旋转性质

在连续傅里叶变换中有

f（r，θ+θ₀）⇔F（ρ，ϕ+ϕ₀）

式中，θ₀表示对应的旋转角大小。

将图像进行旋转后的傅里叶变换如图2-18所示。

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图2-18 将图像进行旋转后的傅里叶变换

（7）差分

令

Δ_xf（m，n）=f（m，n）-f（m-1，n）

Δ_yf（m，n）=f（m，n）-f（m，n-1）

则

由该性质可知，在空间域中对图像进行差分运算相当于对图像进行高通滤波。

（8）和分

此性质表明，在空间域中对图像像素作和相当于对图像信号进行低通滤波。

（9）卷积

两幅图像的卷积等于其傅里叶变换的乘积，即

其中，。

（10）图像的快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）的主要思想是将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断将一个奇数项和一个偶数项相加（减），得到需要的结果。也就是说，FFT是将复杂的乘法运算变成两个数相加（减）的简单重复运算，即通过计算两个单点的DFT来计算一个双点的DFT；通过计算两个双点的DFT，来计算四个点的DFT…依此类推。

设离散函数f（m，n）在有限区域（0≤m≤M-1，0≤n≤N-1）非零，则快速傅里叶变换的主要推导过程如下。

令

则有

同理

又因为

所以

由上述推导，可得FFT的定义式为：

其逆变换为：