研究中性层特点与梁的弯曲变形特征

任务导引

弯曲变形是工程上常见的一种基本变形。例如机车的轮轴（见图8.3.1）、桥式起重机的横梁（见图8.3.2）等。这类杆件的受力与变形的主要特点是：在杆件轴线平面内受垂直于轴线方向的外力作用，或承受力偶作用，使杆件的轴线由直线变成曲线，这种变形形式称为弯曲变形。凡是以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图8.3.1　机车轮轴

图8.3.2　桥式起重机的横梁

任务要求

（1）了解构件弯曲变形的形式和特征；

（2）掌握中性层的特点。

任务实施

一、平面弯曲

1.静定梁的基本形式

作用在梁上的外力包括载荷与支座约束力。仅由平衡方程可求出全部支座约束力的梁称为静定梁，按照支座对梁的约束情况，静定梁有以下三种基本形式：

（1）简支梁梁的一端是固定铰链支座，另一端是活动铰链支座［见图8.3.3（a）］。

（2）外伸梁一端或两端有外伸部分的简支梁［见图8.3.3（b）］。

（3）悬臂梁一端固定，另一端是自由的梁［见图8.3.3（c）］。

图8.3.3　静定梁的基本形式

梁的两个支座之间的距离l，称为梁的跨度。

2.平面弯曲的概念

工程中常见的多数梁，其横截面至少有一根对称轴，如图8.3.4所示。截面的对称轴与梁的轴线所确定的平面称为梁的纵向对称平面（见图8.3.5）。若梁上所有外力（包括外力偶）都作用在梁的纵向对称平面内，则变形后梁的轴线将变成位于纵向对称平面内的一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。它是弯曲问题中最简单的一种情况，是本任务内容主要讨论的问题。

图8.3.4　对称轴

图8.3.5　纵向对称平面

二、梁横截面上的内力——剪力和弯矩

1.剪力、弯矩的概念

分析梁横截面上的内力仍用截面法。如图8.3.6（a）所示简支梁，为确定任一截面m—n的内力，我们用截面法沿横截面m—n将梁截为左、右两段［见图8.3.6（a）、（b）］。由于整个梁是平衡的，它的任一部分也应是平衡的。若取左段为研究对象，由其平衡可知在m—n截面上必然存在着两个内力分量：

（1）与截面相切的内力分量，称为剪力，用FQ表示。

（2）作用在纵向对称平面内的力偶矩，称为弯矩，用M表示。

由平衡方程可计算出m—n截面的FQ与M

∑Fy＝0，FA－FQ＝0，FQ＝FA

∑MC(F)＝0，M－FAx＝0，M＝FAx

截面m—n上的剪力和弯矩，也可取右段为研究对象根据平衡方程求得。显然，取右段所求得的剪力和弯矩与取左段求得的剪力和弯矩大小相等、方向相反，它们是作用与反作用的关系［见图8.3.6（b）、（c）］。

图8.3.6　截面法

为使取左段梁和右段梁求得的同一横截面上的剪力与弯矩符号相同，根据梁的变形情况，对剪力和弯矩的正负号规定如下：以某一截面为界，左右两段梁发生左上右下的相对错动时，该截面上的剪力为正，反之为负（见图8.3.7）；使某段梁弯曲呈上凹下凸状时，该横截面上的弯矩为正，反之为负（图）。

图8.3.7　剪力的正负号

图8.3.8　弯矩的正负号(www.xing528.com)

2.计算剪力和弯矩的简捷法

截面法是计算剪力和弯矩的基本方法，在这一方法的基础上，可引出直接由梁的外力求截面上的剪力和弯矩的方法，即简捷法：

（1）梁任一横截面上的剪力等于截面一侧（左侧或右侧）所有外力的代数和，即FQ＝∑F。

其中，截面左侧向上的外力或截面右侧向下的外力，在该截面上产生正的剪力。因此可概括为“左上右下，剪力为正”；反之，则产生负的剪力。

（2）梁任一截面上的弯矩等于截面一侧（左侧或右侧）所有外力（包括外力偶）对该截面形心力矩的代数和，即M＝∑MC。其中，截面左侧对截面形心顺时针的力矩或截面右侧对截面形心逆时针的力矩，在该截面上产生正的弯矩。因此可概括为“左顺右逆，弯矩为正”；反之，则产生负的弯矩。

三、剪力图和弯矩图

根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图：

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随截面位置而发生变化的，若以梁的轴线为x轴，表示横截面的位置，则梁上各横截面的剪力和弯矩都可以表示为x的函数，即

FQ＝FQ(x)　M＝M(x)

上述两式即为剪力和弯矩随截面位置变化的函数关系式，分别称为剪力方程和弯矩方程。梁的剪力和弯矩随截面位置变化的图像，分别称为剪力图和弯矩图。值得注意的是：在列剪力方程和弯矩方程时，应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和弯矩，找到危险截面的位置，以便进行梁的强度计算。

四、纯弯曲时梁横截面上的正应力

一般情况下，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。

1.中性层与中性轴

如图8.3.9所示为矩形截面梁，在其两端受到两个力偶的作用发生纯弯曲变形。观察纯弯曲梁的变形，可以发现凹边的纵向纤维层缩短，凸边的纵向纤维层伸长。由于变形的连续性，因此其间必有一层既不伸长也不缩短的纵向纤维层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，即如图8.3.9所示的z轴。可以证明，中性轴必过梁横截面的形心且与纵向对称平面垂直；由于中性轴位于中性层上，故中性轴是横截面上伸长区域与缩短区域的分界线。

图8.3.9　中性层与中性轴

2.梁横截面上正应力的分布规律

梁横截面上正应力的分布规律如图8.3.10所示。其规律可总结如下：

图8.3.10　梁横截面上的正应力分布规律

（1）纯弯曲变形时，梁的横截面上只有正应力，没有切应力。

（2）梁横截面上正应力的大小沿梁的高度呈线性分布，中性轴上各点（y＝0）的正应力为零，与中性轴等距的各点正应力相等，离中性轴最远的点正应力最大。

3.正应力计算公式

可以推导出纯弯曲梁横截面上任一点正应力的计算公式为

式中　σ——横截面上任一点的弯曲正应力，Pa；

M——横截面上的弯矩，N·m；

y——欲求应力的点到中性轴的距离，m；

Iz——横截面对中性轴z的惯性矩，m4。

显然，当y＝ymax时，弯曲正应力达到最大值，即

令，则上式可写为

式中　Wz——抗弯截面系数，m3。

需要指出的是，上述正应力计算公式虽然是由纯弯曲梁的变形导出的，但理论与实验证明，当梁的跨度与横截面的高度之比大于5（l/h＞5）时，只要材料在弹性范围内，上述公式也适用于横力弯曲的情况。

任务拓展与反思

1.我们为什么要分析弯曲变形？

2.什么是弯矩？

3.什么是剪力？

4.什么是纯弯曲？

5.中性层有什么特点？